Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

Notations et définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre deux à coefficients constants avec second membre est de la forme : $af''+bf'+cf=d(t)$ On suppose que a n’est pas nul et que d est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Remarques :

• Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
• Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.

Exemples

1. $y''+y'-2y=t-1$
2. $y''+4y=\sin t$

Équation homogène associée

Définition

L’équation homogène associée ou l’équation sans second membre associée à $(E)$ est $(E_{0})$ : $\ af''+bf'+cf=0$

Espace vectoriel

L'ensemble des solutions de $(E_{0})$ est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique

Définition

L'équation $ar^{2}+br+c=0$ est $(E_{c})$ l'équation caractéristique de $(E_{0})$.

Exemples

Donner les équations caractéristiques $(E_{c})$ des équations différentielles homogènes suivantes.

• $(E_{1}):y''+y'-2y=0$
• $(E_{2}):y''+4y'=0$

Solution

• $(E_{c_{1}}):r^{2}+r-2=0$

Dont les solutions sont : $r=-2$ et $r=1$

• $(E_{c_{2}}):r^{2}+4r=0$

Dont les solutions sont : $r=-4$ et $r=0$

 

Résolution

On suppose ici que les coefficients $a,b,c$ sont réels, et l'on cherche les fonctions à valeurs réelles solutions de $(E_{0})$.

Début d’un théorème

Théorème

Une solution générale de $(E_{0})$ s'écrit différemment selon les solutions de l'équation caractéristique $(E_{c})$ :

• Si $\Delta >0$, les solutions de $(E_{c})$ sont réelles $r_{1}$ et $r_{2}$ et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=A\operatorname {e} ^{r_{1}t}+B\operatorname {e} ^{r_{2}t},\quad A,B\in \mathbb {R}$.

• Si $\Delta =0$, la solution unique $r$ de $(E_{c})$ est réelle et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=(At+B)\operatorname {e} ^{rt},\quad A,B\in \mathbb {R}$.

• Si $\Delta <0$, les solutions de $(E_{c})$ sont des complexes conjugués non réels $\alpha +\beta \mathrm {i}$ et $\alpha -\beta \mathrm {i}$ et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=\left(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\right)\operatorname {e} ^{\alpha t},\quad C,D\in \mathbb {R}$.

Fin du théorème

Faites ces exercices : Équations sans second membre.

Démonstration

Soient $r_{1},r_{2}$ les deux racines (réelles distinctes, réelles égales, ou complexes conjuguées distinctes, selon les trois cas pour $\Delta$) de $(E_{c})$. Puisque l'exponentielle ne s'annule pas, toute fonction $f$ à valeurs complexes peut s'écrire sous la forme

$f(t)=g(t)\operatorname {e} ^{r_{1}t}$,

avec $g$ à valeurs complexes.

On a alors :

${\begin{aligned}(E_{0})&\Leftrightarrow a\left(g''+2r_{1}g'+r_{1}^{2}g\right)\operatorname {e} ^{r_{1}t}+b\left(g'+r_{1}g\right)\operatorname {e} ^{r_{1}t}+cg\operatorname {e} ^{r_{1}t}=0\\&\Leftrightarrow ag''+(2ar_{1}+b)g'+(ar_{1}^{2}+br_{1}+c)g=0\\&\Leftrightarrow g''+(2r_{1}+b/a)g'=0\\&\Leftrightarrow g''+(r_{1}-r_{2})g'=0.\end{aligned}}$

• Si $\Delta =0$ alors $r:=r_{2}=r_{1}\in \mathbb {R}$ et le résultat ci-dessus se simplifie : $(E_{0})\Leftrightarrow g''=0$ et les solutions de $(E_{0})$ sont donc bien les fonctions de la forme

  $f(t)=(At+B)\operatorname {e} ^{rt}$,

  avec $A,B$ complexes ou réels, selon qu'on cherche les solutions $f$ à valeurs complexes ou réelles.

• Si $\Delta \neq 0$ alors $r_{2}\neq r_{1}$ et $(E_{0})\Leftrightarrow g'=K\operatorname {e} ^{(r_{2}-r_{1})t}\Leftrightarrow g=B\operatorname {e} ^{(r_{2}-r_{1})t}+A$ donc les solutions de $(E_{0})$ à valeurs complexes sont les fonctions de la forme

  $f(t)=A\operatorname {e} ^{r_{1}t}+B\operatorname {e} ^{r_{2}t}$

  avec $A,B\in \mathbb {C}$.

  • Si $\Delta >0$ alors $r_{1},r_{2}\in \mathbb {R}$ et une fonction de la forme ci-dessus est à valeurs réelles si et seulement si $A,B\in \mathbb {R}$. En effet, si $A,B\in \mathbb {R}$ alors $f$ est clairement à valeurs réelles, et réciproquement, si $f$ est à valeurs réelles alors $A+B=f(0)\in \mathbb {R}$ et $r_{1}A+r_{2}B=f'(0)\in \mathbb {R}$ donc $A={\frac {r_{2}f(0)-f'(0)}{r_{2}-r_{1}}}\in \mathbb {R}$ et $B={\frac {f'(0)-r_{1}f(0)}{r_{2}-r_{1}}}\in \mathbb {R}$
  • Si $\Delta <0$ alors $r_{1}=\alpha +\mathrm {i} \beta ,r_{2}=\alpha -\mathrm {i} \beta$ avec $\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R} ^{*}$, et les fonctions de la forme ci-dessus peuvent aussi s'écrire, par changement de paramètres $C=A+B,D=(A-B)\mathrm {i}$ (équivalent à $A=(C-\mathrm {i} D)/2,B=(C+\mathrm {i} D)/2$) :

    $f(t)=\left(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\right)\operatorname {e} ^{\alpha t}$

    avec $C,D\in \mathbb {C}$. Par un raisonnement analogue au précédent, une telle fonction $f$ est à valeurs réelles si et seulement si $C,D\in \mathbb {R}$. En effet, $f(0)=C$ et $f'(0)=C\alpha +D\beta$.

 

Équation avec second membre

Début d’un théorème

Théorème

Une solution générale de l'équation $(E)$ s'obtient en ajoutant une solution particulière de $(E)$ à la solution générale de $(E_{0})$.

Fin du théorème

Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où $d(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$

Début d’un théorème

Théorème

Dans le cas où :

$(E):af''+bf'+cf=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$

où P est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :

$f(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}Q(t)$

où Q est un polynôme, avec :

• si $\lambda$ n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de Q est le même que celui de P ;
• si $\lambda$ est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus 1 ;
• si $\lambda$ est solution double de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus 2.

Fin du théorème

Démonstration

Par changement de fonction $f(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}Q(t)$,

$(E)\Leftrightarrow a\left(Q''+2\lambda Q'+\lambda ^{2}Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+b\left(Q'+\lambda Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+c\operatorname {e} ^{\lambda t}Q=\operatorname {e} ^{\lambda t}P$

$\Leftrightarrow aQ''+\left(2a\lambda +b\right)Q'+\left(a\lambda ^{2}+b\lambda +c\right)Q=P\quad \left(E'\right)$.

Montrons, par un raisonnement analogue à celui vu en exercice dans le cas du premier ordre, qu'il existe au moins une solution $Q$ polynomiale (et en général une seule, de même degré que $P$).

Soit $n:=\deg P$.

• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c\neq 0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ n'est pas solution de l'équation caractéristique), l'application $T:\mathbb {R} [X]\to \mathbb {R} [X],\;Q\mapsto aQ''+\left(2a\lambda +b\right)Q'+\left(a\lambda ^{2}+b\lambda +c\right)Q$ est linéaire et préserve le degré donc est bijective. $P$ a donc un unique antécédent $Q$ par $T$, et son degré est $n$.
• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0$ mais $2a\lambda +b\neq 0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique), l'application $U:\mathbb {R} [X]\to \mathbb {R} [X],\;R\mapsto aR'+\left(2a\lambda +b\right)R$ est linéaire et préserve le degré donc est bijective. Il existe donc un unique polynôme $R$ tel que $U(R)=P$, et son degré est $n$. En l'intégrant, on obtient un polynôme $Q$ solution de $\left(E'\right)$, de degré $n+1$ (on peut même choisir son terme constant, par exemple 0).
• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=2a\lambda +b=0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ est racine double de l'équation caractéristique), l'équation devient $Q''={\frac {1}{a}}P$ et ses solutions, qui s'obtiennent en intégrant ${\frac {1}{a}}P$ deux fois de suite, sont donc des polynômes de degré $n+2$ (et il en existe un sans terme constant ni terme de degré 1).

Remarquons que dans les deux premiers de ces trois cas, $\left(E'\right)$ a également des solutions $Q$ non polynomiales, d'après la forme générale des solutions $f$ de $(E)$.

 

Remarque

Faites ces exercices : Équations avec des sinus et cosinus.

Ce cas inclut (pour $\lambda =0$) le cas d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet, $\sin t=\operatorname {Im} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$ et $\cos t=\operatorname {Re} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$.

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple

Faites ces exercices : Équations avec second membre.

Déterminer une solution générale de $(E)$ :

$y''+3y'+2y=3t+7$.

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+3y'+2y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+3r+2=0\Leftrightarrow (r+1)(r+2)=0$ (en voyant que -1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=-1$ ou $r=-2$

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t},\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+3y'+2y=3t+7$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at+b$.

$y_{1}'=a$ et $y_{1}''=0$

Donc $y_{1}''+3y_{1}'+2y_{1}=3t+7\Leftrightarrow 3a+2at+2b=3t+7$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}2a=3\\3a+2b=7\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a={\frac {3}{2}}\\b={\frac {5}{4}}.\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}={\frac {3}{2}}t+{\frac {5}{4}}$.

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {5}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$.

 

La condition initiale

• L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

• Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction $f$

pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale $f(0)$ et une vitesse initiale $f'(0)$.

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Début d’un théorème

Théorème de Cauchy

Soit une valeur de la variable x₀, deux valeurs y₀ et $z_{0}$ étant données,

il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre deux

vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$ et $f$ $'(x_{0})=z_{0}$.

Fin du théorème

Exemple

Faites ces exercices : Résolution d'équations différentielles avec conditions initiales.

Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.

$y''+4y'-5y=10$

$f(0)=4$

$f'(0)=0$

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-5$

Donc $y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t},(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'-5y=10$

$y=-{\frac {10}{5}}$ est solution constante évidente.

Donc $y$ est de la forme $y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t}-2\,,\,(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

• Détermination de $\lambda$ et de $\mu$ :

${\begin{cases}f(0)=4\\f'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}$

Donc $y=5e^{t}+e^{-5t}-2$