Équations et fonctions du second degré/Somme et produit des racines

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Relations coefficients-racines

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f:x\mapsto ax^{2}+bx+c$ une fonction trinôme possédant deux racines x₁ et x₂. On a les deux relations suivantes, appelées relations coefficients-racines :

• $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ ;
• $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

Fin du théorème

Démonstration

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})$

donc, par identification des coefficients,

$b=-a(x_{1}+x_{2})$ et $c=ax_{1}x_{2}$.

 

Utilité

Ces relations présentent deux utilités principales :

• Calculer une racine de la fonction trinôme quand on connaît déjà l'autre
• Résoudre quelques systèmes non linéaires.

Début d’un principe

Résolution d'un certain type de système non linéaire

Supposons que l’on soit confronté au système (S) suivant, d'inconnues X et Y réelles ou complexes : $(S)~:~{\begin{cases}X+Y=5\\XY=6\end{cases}}$

Soit on voit que les couples (3,2) et (2,3) sont solution, soit on ne le voit pas...

Si on ne le voit pas, on suit la méthode suivante :

• Il existe une unique fonction polynomiale $f:t\mapsto t^{2}+bt+c$ dont les racines sont X et Y.
• Cette fonction f vérifie les relations coefficients-racines :
  • $5=X+Y=-b$
  • $6=XY=c$
• Donc pour tout $t\in \mathbb {R} ,~f(t)=t^{2}-5t+6$
• Maintenant que l’on connaît f explicitement, on peut calculer ses racines (discriminant, etc.)
• On trouve finalement que les racines de f sont 2 et 3.
• Comme (S) est parfaitement symétrique en X et Y, l’ensemble des solutions de (S) est donc $\{(2,3);(3,2)\}$.

Fin du principe