En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur la résolution d'équationApproche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
1°
z
2
−
(
5
+
3
i
)
z
+
4
+
7
i
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(5+3\mathrm {i} \right)z+4+7\mathrm {i} =0}
2°
z
2
−
(
5
−
9
i
)
z
−
14
−
23
i
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(5-9\mathrm {i} \right)z-14-23\mathrm {i} =0}
3°
(
4
−
3
i
)
z
2
−
(
10
+
5
i
)
z
+
3
+
5
i
=
0
{\displaystyle \left(4-3\mathrm {i} \right)z^{2}-\left(10+5\mathrm {i} \right)z+3+5\mathrm {i} =0}
4°
z
2
−
(
3
+
2
i
)
z
+
5
+
i
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(3+2\mathrm {i} \right)z+5+\mathrm {i} =0}
5°
z
2
−
(
1
+
2
i
)
z
+
3
(
1
+
i
)
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(1+2\mathrm {i} \right)z+3\left(1+\mathrm {i} \right)=0}
6°
z
2
−
(
a
+
i
b
)
z
+
i
a
b
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(a+\mathrm {i} b\right)z+\mathrm {i} ab=0}
7°
z
2
−
2
a
z
+
a
2
+
b
2
=
0
{\displaystyle z^{2}-2az+a^{2}+b^{2}=0}
8°
z
2
+
(
5
+
4
i
)
z
+
3
+
11
i
=
0
{\displaystyle z^{2}+\left(5+4\mathrm {i} \right)z+3+11\mathrm {i} =0}
9°
z
2
+
4
(
1
+
i
)
z
+
10
i
=
0
{\displaystyle z^{2}+4\left(1+\mathrm {i} \right)z+10\mathrm {i} =0}
10°
z
2
−
z
3
−
i
=
0
{\displaystyle z^{2}-z{\sqrt {3}}-\mathrm {i} =0}
Résoudre dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
1°
z
4
+
z
2
+
1
=
0
{\displaystyle z^{4}+z^{2}+1=0}
2°
(
z
+
1
)
2
+
i
(
z
+
2
)
2
=
0
{\displaystyle (z+1)^{2}+\mathrm {i} (z+2)^{2}=0}
3°
(
z
−
i
)
3
=
i
(
z
+
i
)
3
{\displaystyle (z-\mathrm {i} )^{3}=\mathrm {i} (z+\mathrm {i} )^{3}}
4°
(
z
+
1
)
2
+
i
(
z
2
+
z
)
2
=
0
{\displaystyle (z+1)^{2}+\mathrm {i} (z^{2}+z)^{2}=0}
5°
z
4
−
(
5
−
14
i
)
z
2
−
2
(
12
+
5
i
)
=
0
{\displaystyle z^{4}-(5-14\mathrm {i} )z^{2}-2(12+5\mathrm {i} )=0}
6°
z
4
−
(
7
+
22
i
)
z
2
+
48
−
14
i
=
0
{\displaystyle z^{4}-(7+22\mathrm {i} )z^{2}+48-14\mathrm {i} =0}
Dans le corps des nombres complexes, résoudre l'équation :
i
z
2
−
2
z
¯
+
2
−
i
=
0
{\displaystyle \mathrm {i} z^{2}-2{\bar {z}}+2-\mathrm {i} =0}
où
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
Solution
i
(
x
2
−
y
2
+
2
x
y
i
)
−
2
(
x
−
i
y
)
+
2
−
i
=
2
(
1
−
x
y
−
x
)
+
i
(
x
2
−
y
2
+
2
y
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {i} \left(x^{2}-y^{2}+2xy\mathrm {i} \right)-2\left(x-\mathrm {i} y\right)+2-\mathrm {i} =2\left(1-xy-x\right)+\mathrm {i} \left(x^{2}-y^{2}+2y-1\right)}
x
(
y
+
1
)
=
1
et
x
2
=
(
y
−
1
)
2
⇔
x
=
1
y
+
1
et
x
=
±
(
y
−
1
)
⇔
x
=
1
y
+
1
et
y
2
−
1
=
±
1
⇔
(
x
,
y
)
=
(
1
,
0
)
,
(
−
1
+
2
,
2
)
ou
(
−
1
−
2
,
−
2
)
{\displaystyle x(y+1)=1{\text{ et }}x^{2}=(y-1)^{2}\Leftrightarrow x={\frac {1}{y+1}}{\text{ et }}x=\pm (y-1)\Leftrightarrow x={\frac {1}{y+1}}{\text{ et }}y^{2}-1=\pm 1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0),\left(-1+{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right){\text{ ou }}\left(-1-{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right)}
Il y a donc trois solutions :
1
{\displaystyle 1}
−
1
±
2
(
1
+
i
)
{\displaystyle -1\pm {\sqrt {2}}(1+\mathrm {i} )}
Résoudre les équations suivantes :
1°
z
3
−
i
=
0
{\displaystyle z^{3}-\mathrm {i} =0}
2°
z
3
−
i
=
6
(
z
+
i
)
{\displaystyle z^{3}-\mathrm {i} =6\left(z+\mathrm {i} \right)}
Solution
z
3
=
e
i
π
/
2
⇔
z
=
e
i
θ
avec
θ
∈
{
π
6
,
π
6
−
2
π
3
,
π
6
+
2
π
3
}
=
{
π
6
,
−
π
2
,
5
π
6
}
⇔
z
∈
{
3
+
i
2
,
−
i
,
−
3
+
i
2
}
{\displaystyle z^{3}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }{\text{ avec }}\theta \in \left\{{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{6}}-{\frac {2\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}+{\frac {2\pi }{3}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{6}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {5\pi }{6}}\right\}\Leftrightarrow z\in \left\{{\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}},-\mathrm {i} ,{\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}\right\}}
z
3
−
i
−
6
(
z
+
i
)
=
(
z
+
i
)
(
z
2
−
i
z
−
7
)
{\displaystyle z^{3}-\mathrm {i} -6\left(z+\mathrm {i} \right)=\left(z+\mathrm {i} \right)\left(z^{2}-\mathrm {i} z-7\right)}
−
i
{\displaystyle -\mathrm {i} }
i
±
3
3
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {i} \pm 3{\sqrt {3}}}{2}}}
Résoudre dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
z
6
−
(
1
−
i
)
z
3
−
i
=
0
{\displaystyle z^{6}-\left(1-\mathrm {i} \right)z^{3}-\mathrm {i} =0}
Solution
Δ
=
(
1
−
i
)
2
+
4
i
=
2
i
=
(
1
+
i
)
2
{\displaystyle \Delta =\left(1-\mathrm {i} \right)^{2}+4\mathrm {i} =2\mathrm {i} =\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}}
z
3
=
1
−
i
±
(
1
+
i
)
2
=
1
ou
−
i
⇔
z
∈
{
1
,
e
i
2
π
/
3
,
e
−
i
2
π
/
3
,
e
−
i
π
/
6
,
e
i
π
/
2
,
e
−
i
5
π
/
6
}
=
{
1
,
−
1
+
i
3
2
,
−
1
−
i
3
2
,
3
−
i
2
,
i
,
−
3
−
i
2
}
{\displaystyle z^{3}={\frac {1-\mathrm {i} \pm \left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}=1{\text{ ou }}-\mathrm {i} \Leftrightarrow z\in \left\{1,\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /6}\right\}=\left\{1,{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}},\mathrm {i} ,{\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}\right\}}
Soit le polynôme
P
(
z
)
=
z
3
−
4
z
+
λ
{\displaystyle P(z)=z^{3}-4z+\lambda }
z
{\displaystyle z}
λ
{\displaystyle \lambda }
1° Montrer que si
P
(
z
)
=
0
{\displaystyle P(z)=0}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
¯
0
{\displaystyle {\bar {z}}_{0}}
En déduire que l'équation
P
(
z
)
=
0
{\displaystyle P(z)=0}
2° Déterminer
λ
{\displaystyle \lambda }
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
2
{\displaystyle 2}
Résoudre l'équation pour la valeur de
λ
{\displaystyle \lambda }
3° Déterminer
λ
{\displaystyle \lambda }
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
2
{\displaystyle 2}
Résoudre l'équation pour chaque valeur de
λ
{\displaystyle \lambda }
Solution
Puisque
P
{\displaystyle P}
P
(
z
¯
)
=
P
(
z
)
¯
{\displaystyle P({\bar {z}})={\overline {P(z)}}}
P
(
z
)
=
0
⇔
P
(
z
¯
)
=
0
{\displaystyle P(z)=0\Leftrightarrow P({\bar {z}})=0}
P
{\displaystyle P}
λ
=
x
(
4
−
x
2
)
et
x
2
=
4
⇒
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =x\left(4-x^{2}\right){\text{ et }}x^{2}=4\Rightarrow \lambda =0}
z
3
−
4
z
=
0
{\displaystyle z^{3}-4z=0}
0
{\displaystyle 0}
2
{\displaystyle 2}
−
2
{\displaystyle -2}
Si
P
{\displaystyle P}
z
0
,
z
¯
0
{\displaystyle z_{0},{\bar {z}}_{0}}
2
{\displaystyle 2}
μ
{\displaystyle \mu }
z
3
−
4
z
+
λ
=
(
z
−
z
0
)
(
z
−
z
¯
0
)
(
z
−
μ
)
{\displaystyle z^{3}-4z+\lambda =(z-z_{0})(z-{\bar {z}}_{0})(z-\mu )}
μ
=
−
2
Re
(
z
0
)
=
−
λ
/
4
{\displaystyle \mu =-2\operatorname {Re} (z_{0})=-\lambda /4}
λ
=
±
8
2
{\displaystyle \lambda =\pm 8{\sqrt {2}}}
si
λ
=
8
2
{\displaystyle \lambda =8{\sqrt {2}}}
−
2
2
=
2
2
e
i
π
{\displaystyle -2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }}
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
(
1
±
i
)
=
2
e
±
i
π
/
4
{\displaystyle {\sqrt {2}}\left(1\pm \mathrm {i} \right)=2\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /4}}
de même, si
λ
=
−
8
2
{\displaystyle \lambda =-8{\sqrt {2}}}
2
2
=
2
2
e
i
0
{\displaystyle 2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 0}}
2
(
−
1
±
i
)
=
2
e
±
i
3
π
/
4
{\displaystyle {\sqrt {2}}\left(-1\pm \mathrm {i} \right)=2\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 3\pi /4}}
Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation .
![{\displaystyle \left[0,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e34615383b8ffe6f079cfd094c2b274fab51a4)
