Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i

**Introduction de i**
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Opérations sous forme algébrique

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Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le nombre i modifier

Définition

On définit le nombre $i$ tel que $i^{2}=-1$ .

Le symbole $i$ signifie « imaginaire ». En effet, comme le carré d’un nombre réel est toujours positif, ce nombre ne peut pas être un nombre réel ;
$i\notin \mathbb {R}$
par convention, i n'est jamais écrit sous la racine carrée ;
très souvent, il est placé au numérateur d’une fraction ;
la place de i n’est pas obligatoirement devant ou derrière l'expression, mais nous plaçons i devant le radical comme nous le faisons pour des inconnues quelconques ;
le plus souvent (uniquement parce que la prononciation est plus simple ainsi), nous plaçons i après les nombres mais avant les inconnues.

Forme algébrique d’un nombre complexe modifier

Définition

Les nombres qui s'écrivent $z=x+iy$ (avec x et y réels) forment l’ensemble $\mathbb {C}$ des nombres complexes.

Cette écriture des nombres complexes est nommée algébrique (ou parfois cartésienne).

La partie réelle et la partie imaginaire modifier

Définition

Pour $z=x+iy$

x est la partie réelle de z.
y est la partie imaginaire de z.

Propriété

On utilise aussi la notation suivante pour représenter les 2 parties d’un nombre complexe :

$\Re (z)$ voulant dire la partie réelle de z et $\Im (z)$ voulant dire la partie imaginaire de z, ce qui nous donne :

$\Re (z)={\mbox{Re}}(z)=x$ .
$\Im (z)={\mbox{Im}}(z)=y$ .

Exemple

Pour $z=-1+2i$ :

La partie réelle de z est -1 et la partie imaginaire de z est 2.
L'expression traditionnelle partie imaginaire peut induire en erreur : il faut remarquer que y est réel !