Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable
Ce premier chapitre énonce et démontre le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous discuterons ensuite des modalités d'application de ce théorème.
Soient I et J deux intervalles réels, ϕ ∈ C1(I, ℝ) telle que ϕ(I) ⊂ J, et f ∈ C0(J, ℝ). Alors :
.
D'après le théorème fondamental de l'analyse, l'application
est la primitive de nulle en et l'application
est la primitive de nulle en .
On en déduit que . En effet :
- d'après le théorème de dérivation des fonctions composées, ;
- .
En particulier, , ce qu'il fallait démontrer.
Soient . Pour calculer l'intégrale
- ,
posons
- .
La fonction ϕ est de classe C1 de l'intervalle I = R+* dans J = R+, et appartiennent à I. Le changement de variable est donc valide. De plus :
.
D'après la formule du changement de variable appliquée à la fonction (qui est bien définie et continue sur J), on a donc :
(Par passage à la limite, on en déduit : .)
Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à utiliser.
Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient ϕ(I) ⊂ J même si nous ne l’avons pas vérifié pour simplifier l’exposé.
Le lecteur est toutefois fortement invité à faire cette vérification.
Cette condition ϕ(I) ⊂ J est indispensable.
Par exemple, en effectuant le changement de variable sans aucune précaution, on obtiendrait :
- ,
alors qu'en réalité :
- , puisque c'est l'intégrale, sur un intervalle de longueur non nulle, d'une fonction continue strictement positive.