Cinématique (Expert)/Introduction à la cinématique, dérivation d'une fonction vectorielle

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Notations

• Dérivée d'une fonction réelle x : ${\dot {x}}$
• Vecteur position : ${\overrightarrow {OM(t)}}$
• Vecteur vitesse : ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OM(t)}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {Vm_{1/0}}}$
• Vecteur accélération : ${\frac {\mathrm {d} ^{2}{\overrightarrow {OM(t)}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\overrightarrow {\Gamma m_{1/0}}}$

Définitions

Fonction vectorielle

Dans l'espace réel $\mathbb {R} ^{3}$ muni d'une base $B({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, on définit une fonction vectorielle ${\overrightarrow {u_{(t)}}}$ telle que :

${\overrightarrow {u_{(t)}}}=u_{1}(t){\vec {i}}+u_{2}(t){\vec {j}}+u_{3}(t){\vec {k}}$.

On suppose ${\overrightarrow {u_{(t)}}}$ continue et suffisamment dérivable sur l'espace d'étude.

Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B

Soit ${\overrightarrow {u_{(t)}}}$ définie dans B telle que :

${\overrightarrow {u_{(t)}}}=u_{1}(t){\vec {i}}+u_{2}(t){\vec {j}}+u_{3}(t){\vec {k}}$.

La dérivée de la fonction vectorielle u dans la base B et par rapport au paramètre t est définie de la manière suivante :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {u_{(t)}}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{1}(t)\right){\vec {i}}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{2}(t)\right){\vec {j}}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{3}(t)\right){\vec {k}}$

Propriété

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {u_{(t)}}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {u}}_{1}(t){\vec {i}}+{\dot {u}}_{2}(t){\vec {j}}+{\dot {u}}_{3}(t){\vec {k}}$

En clair, si tout se passe dans la même base B, la dérivation de la fonction vectorielle consiste à dériver chacune de ses composantes. Les composantes étant en général des fonctions d'une seule variable, le temps, ce travail peut donc être considéré comme simple.

Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base $B_{0}$

Soit ${\overrightarrow {u_{(t)}}}$ définie dans B telle que :

${\overrightarrow {u_{(t)}}}=u_{1}(t){\vec {i}}+u_{2}(t){\vec {j}}+u_{3}(t){\vec {k}}$.

On définit une deuxième base $B_{0}$ orthogonale directe $B_{0}({\overrightarrow {i_{0}}},{\overrightarrow {j_{0}}},{\overrightarrow {k_{0}}})$. Nous observons la dérivation dans $B_{0}$ de la fonction ${\overrightarrow {u_{(t)}}}$ définie dans B: