Fonction dérivée/Exercices/Approximation affine locale

Une approximation affine locale : cas économique

La production d'une quantité x d'une marchandise coûte :

$C(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+63{\frac {x}{4}}+10$

avec $x\in [2;6]$.

Un chef d'entreprise utilise l'astuce suivante pour simplifier son calcul :

« Je multiplie la quantité par 15, je la divise par 4 et j'ajoute 26 pour obtenir le coût. »

On veut démontrer que son erreur ne dépasse pas 7 %.

1. Transformons la recette en formule mathématique :

pour tout $x\in [2;6],~C_{app}(x)=\cdots$

2. Tracer le graphe des fonctions C et C_app. Que remarque-t-on ?

3. Déterminons une approximation affine de $C(x)$ autour de x = 4,

en assimilant la courbe de C à sa tangente au point d'abscisse x = 4

a. Calculer :

pour tout $x\in [2;6],~C'(x)=\cdots$

b. Calculer :

$C'(4)=\cdots$

$C(4)=\cdots$

En déduire l'équation de la tangente en $x=4$

Pour tout $x\in [2;6],~C_{app}(x)=\cdots$

4. Soit la fonction "erreur" définie par :

pour tout $x\in [2;6],~e(x)=C(x)-C_{app}(x)$.

Calculer :

pour tout $x\in [2;6],~e(x)=\cdots$

pour tout $x\in \cdots ,~e'(x)=\cdots$

x
Signe de e'(x)
Variations de e

5. Calculer $C(2)$ et $C(6)$ et conclure quant au problème de départ :

Solution

1. Pour tout $x\in [2;6],~C_{app}(x)={\frac {15}{4}}x+26$

2. Les graphes des fonctions sont :

On remarque qu'aux alentours du point d'abscisse x = 4, les deux courbes sont très proches. En s'éloignant de ce point, l'écart augmente.

3.a. Pour tout $x\in [2;6],~C'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+{\frac {63}{4}}$

3.b. On a : $C(4)=41$ $C'(4)={\frac {15}{4}}$

d'où l'équation de la tangente à la courbe de C au point d'abscisse 4 :

Pour tout $x\in [2;6],~C_{app}(x)=C'(4)(x-4)+C(4)={\frac {15}{4}}x+26$

4. On aboutit aux expressions suivantes

Pour tout $x\in [2;6],~e(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+12x-16$

La fonction e est dérivable sur $[2;6]$ et, pour tout $x\in [2;6],~e'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12$

On cherche alors à étudier le signe de e'. Pour cela, écrivons que pour tout $x\in [2;6]$ :

${\begin{aligned}e'(x)&={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12\\&={\frac {3}{4}}\left(x^{2}-8x+16\right)\\&={\frac {3}{4}}(x-4)^{2}\end{aligned}}$

On aboutit au tableau de signes suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&2&&4&&6\\\hline {\textrm {Signe~de}}~e'(x)&&+&0&+&\\\hline &&&&&2\\&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~e&&&0&&\\&&\nearrow &&&\\&-2&&&&\\\hline \end{array}}$

5. On a : $C(2)={\frac {63}{2}}$ $C(6)={\frac {101}{2}}$

L'erreur en pourcentage est donnée par $\epsilon :x\mapsto \left|{\frac {e(x)}{C(x)}}\right|$, définie sur $[2;6]$

L'erreur maximale est obtenue en x = 2 (plus grande valeur de $e(x)$ pour la plus petite valeur de $C(x)$) et vaut :

$\epsilon _{max}=\left|{\frac {e(2)}{C(2)}}\right|\approx 6,3\%$

L'erreur n'excède donc pas 7%.