Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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Dérivée de e^ax+b

On considère des fonctions de paramètres a et b écrites sous la forme : $x\mapsto e^{ax+b}$.

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par : $f(x)=e^{2x+1}$ $\forall x\in \mathbb {R}$

ƒ est la fonction composée de la fonction affine $u:x\mapsto 2x+1$, définie sur $\mathbb {R}$,

et de la fonction exponentielle $e^{x}$, ce que l’on représente par le schéma suivant :

${\begin{array}{ccccc}x&\rightarrow &u(x)&~&~\\~&~&t&\rightarrow &e^{t}=e^{u(x)}\end{array}}$

Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soient a et b deux réels.

Soit g une fonction définie par $g:x\mapsto f(ax+b)$ sur un intervalle I.

Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et : $g'(x)=a\cdot f'(ax+b)\quad x\in I$

Fin du théorème

Dans notre cas particulier, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\cdot e^{2x+1}$

Dérivée de e^u(x)

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=a=2$.

On généralise ce procédé dans le cas où u(x) n’est pas forcément une fonction affine.

Début d’un théorème

Théorème

Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors e^u(x) est dérivable sur I et :

$(e^{u(x)})'=u'(x)\times e^{u(x)}$

Fin du théorème

Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

Exemple 1

$f:x\mapsto e^{x^{2}+1}$

Pour tout $x\in I,~u(x)=\ldots$.

Pour tout $x\in I,~u'(x)=\ldots$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=\ldots$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x)=x^{2}+1$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2x\cdot e^{x^{2}+1}$

 

Exemple 2

$f:x\mapsto e^{2x^{3}+1}$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x)=2x^{3}+1$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=6x^{2}$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=6x^{2}\cdot e^{2x^{3}+1}$

 

Exemple 3

$f:x\mapsto e^{x^{2}+2x+1}$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x)=x^{2}+2x+1$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{x^{2}+2x+1}$

 

Exemple 4

$f:x\mapsto e^{(x+1)^{2}}$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{(x+1)^{2}}$

 

Exemple 5

$f_{5}:x\mapsto -3e^{5x^{2}+3}$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x)=5x^{2}+3$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=10x$

Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=-30x\cdot e^{5x^{2}+3}$

 

Exemple 6

$f_{6}:x\mapsto x(3e^{5x^{2}+3})$

Solution

On remarque que pour tout $x\in I,~f_{6}(x)=-x\cdot f_{5}(x)$ Donc pour tout $x\in I$ ${\begin{aligned}f_{6}'(x)&=-(1\cdot f_{5}(x)+xf_{5}'(x))\\&=-3e^{5x^{2}+3}-30x^{2}\cdot e^{5x^{2}+3}\\&=(3+30x^{2})e^{5x^{2}+3}\\&=3(1+10x^{2})e^{5x^{2}+3}\end{aligned}}$

 

Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto e^{-x}$

On a alors, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\ldots$ et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction exponentielle sont :

• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=\ldots$
• $\lim _{x\to -\infty }e^{-x}=\ldots$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,f'(x)=-e^{-x}$

• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$
• $\lim _{x\to -\infty }e^{-x}=+\infty$

${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\textrm {Sgn(f'(x))}}&&-&\\\hline &+\infty &&\\{\textrm {Var(f(x))}}&&\searrow &\\&&&0\\\end{array}}$

On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où, plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…