Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 3

Exercice 6-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {3+\sin x}{4+\sin x}}$.

Solution

$f$ est une fonction de $\sin x$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Sur cet intervalle, $x\mapsto 4+\sin x$ est positive et croissante donc $f:x\mapsto 1-{\frac {1}{4+\sin x}}$ est croissante.

$f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {2}{3}}$ et $f\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {4}{5}}$.

Tracé Google

 

Exercice 6-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {3\sin x}{2\sin x-1}}$.

Solution

$f$ est une fonction de $\sin$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{{\frac {\pi }{6}}\right\}$.

Sur ce domaine, $f'<0$.

$f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=1,\quad \lim _{{\frac {\pi }{6}}^{\pm }}=\pm \infty ,\quad f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=3$.

Tracé sur Google

 

Exercice 6-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sin x+\cos x+\sin x\cos x$.

Solution

$f\left({\frac {\pi }{4}}+h\right)=g(h):=\cos ^{2}h+{\sqrt {2}}\cos h-{\frac {1}{2}}$ donc il suffit d'étudier $g$ sur $[-\pi ,0]$.

Sur cet intervalle, $g'(h)$ est positif lorsque $h>-{\frac {3\pi }{4}}$.

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-{\frac {3\pi }{4}}&&-{\frac {\pi }{2}}&&{\frac {\pi }{4}}\\\hline &&&&&{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}\\f(x)&{\frac {1}{2}}-{\sqrt {2}}&&&\nearrow &\\&&\searrow &&&\\&&&-1&&\\\hline \end{array}}$

Tracé Google

 

Exercice 6-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {(1+\sin x)^{2}}{\sin x(1-\sin x)}}$.

Solution

$f$ est une fonction de $\sin$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\setminus \{0\}$.

Sur ce domaine, $f'(x)$ est du signe de $3\sin x-1$. Soit $\theta :=\arcsin {\frac {1}{3}}$.

${\begin{array}{c|cccccccccc|}x&-{\frac {\pi }{2}}&&&0&&&\theta &&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &&&&\|&+\infty &&&&+\infty &\|\\&&&&\|&&\searrow &&\nearrow &&\|\\f(x)&&&&\|&&&8&&&\|\\&0&&&\|&&&&&&\|\\&&\searrow &&\|&&&&&&\|\\&&&-\infty &\|&&&&&&\|\\\hline \end{array}}$

Tracé Google