Implication et équivalence/Exercices/Contraposées

Exercice 2-1

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ telle que $f\circ f$ est croissante et $f\circ f\circ f$ est strictement décroissante. Montrer que $f$ est strictement décroissante.

Solution

Par hypothèse :

1. $\forall u,v\in \mathbb {R} \quad \left(u\leq v\Rightarrow f\circ f(u)\leq f\circ f(v)\right)$ ;
2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(x<y\Rightarrow f\circ f\circ f(x)>f\circ f\circ f(y)\right)$.

Soient $x,y\in \mathbb {R}$ tels que $x<y$. Posons $u=f(x)$ et $v=f(y)$.

D'après 2, $f\circ f(u)>f\circ f(v)$.

Par contraposition de 1, on en déduit : $u>v$.

On a donc bien :

$\forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\right)$.

 

Exercice 2-2

Soient $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ telles que $\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \left(f(x)-f(y)\right)\left(g(x)-g(y)\right)=0$. Montrer que l'une au moins de ces deux applications est constante.

Solution

Pour tous $x,y,z\in \mathbb {R}$, on a :

1. $f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)$ ;
2. $g(z)\neq g(x)\Rightarrow f(z)=f(x)$ ;
3. $g(z)\neq g(y)\Rightarrow f(z)=f(y)$.

De 2 et 3 on déduit :

$g(x)=g(y)\Rightarrow \left[g(z)\neq g(x)\Rightarrow f(x)=f(y)\right]$

ou encore :

$g(x)=g(y)\Rightarrow \left[f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(z)=g(x)\right]$,

c'est-à-dire :

$\left[g(x)=g(y){\text{ et }}f(x)\neq f(y)\right]\Rightarrow g(z)=g(x)$

donc avec 1 :

$f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(z)=g(x)$.

Par conséquent, si $f$ n'est pas constante alors $g$ l'est.