Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Intégrales en physique : Découpages classiques Intégrales en physique/Découpages classiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Intégration sur un disque
modifier
Du fait de la symétrie du disque, les coordonnées polaires sont les plus adaptées. On considère une grandeur f(r,θ) dont on veut calculer l'influence F sur la totalité de la surface Σ du disque.
Secteur angulaire
modifier
La surface élémentaire d'ordre 2 d²S la plus simple à exprimer est celle située en un point de coordonnées (r,θ) :
qui s'étend radialement sur une longueur dr
qui balaie un angle dθ
Si, du fait des très petites dimensions de la surface, on peut assimiler d²S à un rectangle de dimensions dr et r dθ, on obtient
d
2
S
=
d
r
r
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S=\mathrm {d} r~r\mathrm {d} \theta }
.
On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les surfaces élémentaires :
∫
r
=
0
r
=
R
∫
θ
=
0
θ
=
2
π
d
2
S
=
∫
r
=
0
r
=
R
∫
θ
=
0
θ
=
2
π
r
d
r
d
θ
=
∫
r
=
0
r
=
R
r
d
r
∫
θ
=
0
θ
=
2
π
d
θ
=
[
r
2
2
]
r
=
0
r
=
R
×
2
π
=
π
R
2
=
A
Σ
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} ^{2}S&=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{r=0}^{r=R}r\,\mathrm {d} r\,\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}}
F vaut alors
F
=
∫
r
=
0
r
=
R
∫
θ
=
0
θ
=
2
π
f
(
r
,
θ
)
r
d
r
d
θ
{\displaystyle F=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }f(r,\theta )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }
Couronne élémentaire
modifier
Si de plus, f ne dépend pas de θ :
F
=
∫
θ
=
0
θ
=
2
π
d
θ
∫
r
=
0
r
=
R
f
(
r
)
r
d
r
=
2
π
∫
r
=
0
r
=
R
f
(
r
)
r
d
r
{\displaystyle F=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r=2\pi \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r}
Cela revient à choisir une surface élémentaire en forme de couronne située à une distance r du centre, de largeur infinitésimale dr.
Si on « coupe » cette couronne et qu'on la « déroule » par la pensée, on peut supposer que son aire est assimilable à celle d'un rectangle de longueur 2πr (la circonférence d'un cercle de rayon r) et de largeur dr.
On obtient alors une couronne infinitésimale d'ordre 1 d'aire
d
S
=
2
π
r
d
r
{\displaystyle \mathrm {d} S=2\pi r~\mathrm {d} r}
.
On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les couronnes élémentaires :
∫
r
=
0
r
=
R
d
S
=
∫
r
=
0
r
=
R
2
π
r
d
r
=
[
r
2
2
]
r
=
0
r
=
R
×
2
π
=
π
R
2
=
A
Σ
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\mathrm {d} S&=\int _{r=0}^{r=R}2\pi r\,\mathrm {d} r\\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}}
F vaut alors
F
=
2
π
∫
r
=
0
r
=
R
r
f
(
r
)
d
r
{\displaystyle F=2\pi \int _{r=0}^{r=R}r\,f(r)\mathrm {d} r}
Intégration dans le cas d'un cylindre
modifier
d
S
=
2
π
R
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} S=2\pi R\,\mathrm {d} z}
d
V
=
2
π
r
h
d
r
{\displaystyle \mathrm {d} V=2\pi rh\,\mathrm {d} r}
Intégration sur une sphère
modifier
Élément infinitésimal d'ordre 2
modifier
d
2
S
=
R
2
sin
(
φ
)
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S=R^{2}\sin(\varphi )\,{\rm {d\theta {\rm {d\varphi }}}}}
Intégration sur des couronnes
modifier
d
S
=
2
π
R
2
sin
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} S=2\pi R^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta }
Intégration sur une boule
modifier
d
V
=
4
π
r
2
d
r
{\displaystyle \mathrm {d} V=4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r}