Introduction à la science des matériaux/Exercices/Détermination du plan de cission maximal pour la traction simple

Considérons un barreau de section carrée de côté a soumis à une traction simple dans l'axe (figure de gauche) ; la force de traction est appelée ${\vec {\mathrm {F} }}$ et a une norme F. L'aire de la section droite est donc S₀ = a². Considérons un plan de coupe faisant un angle α avec la section droite, un des côtés de la section restant perpendiculaire à l'axe du barreau : le vecteur unitaire normal est ${\vec {n}}$, le vecteur unitaire de la ligne de plus grande pente est ${\vec {t}}$ (comme « tangentiel »).

1. Déterminer les composantes normale et tangentielle, ${\vec {\mathrm {N} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {T} }}_{1}$, de la force ${\vec {\mathrm {F} }}$ en fonction de F et de α.
2. La section inclinée est une rectangle ; déterminer les longueurs de ses côté, ainsi que son aire S₁, en fonction de a et de α.
3. Déterminer la cission, c'est-à-dire la contrainte de cisaillement τ = T₁/S₁, en fonction de F, a et α.
4. Calculer la cission maximale et la comparer avec la contrainte normale sur la section droite.
5. Tracer, sur le même graphique, les courbes de la force tangentielle relative T₁/F, l'aire de la section relative S₁/S₀, et la cission relative τ/τ_max, et déterminer l'angle pour lequel la cission est la plus grande.

Traction uniaxiale d'un barreau de section carrée

Solution

1. N₁ = F⋅cos α ; T₁ = F⋅sin α.
2. Un des côtés ne change pas et a donc une longueur a ; la côté de plus grande pente a pour longueur a/cos α. On a donc S₁ = a²/cos α = S₀/cos α.
3. τ = F⋅sin α/(a²/cos α) = F⋅sin α⋅cos α/a².
4. Une condition nécessaire pour un maximum est que la dérivée s'annule :
   ${\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} \alpha }}={\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha \right)$
   ${\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} \alpha }}=0\Leftrightarrow \sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha \Leftrightarrow \alpha \equiv {\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\pi }{2}}\right]$
   et alors
   $|\sin \alpha |=|\cos \alpha |={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
   d'où
   $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {\mathrm {F} }{2a^{2}}}={\frac {\sigma }{2}}$
5. On a un maximum pour α = 45°.