Loi des grands nombres/Loi faible des grands nombres
Présentation modifier
La loi faible des grands nombres, ou théorème de Khintchine, est utilisée en statistique, où elle permet de donner des estimateurs de valeurs caractéristiques d'une loi de probabilités (espérance, variance,...)
Énoncé modifier
Loi faible des grands nombres
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé , de même espérance et de même variance . Alors la moyenne empirique des converge en probabilités vers .
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa)
![{\displaystyle V[X]<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e4a4279f13efa5a564f7558768e289e87a7f56)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\qquad \lim _{n\rightarrow +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}-\mathbb {E} [X]\right|\geq \varepsilon \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e63f63b747dc9030ca3fcc2551e603993802567)
Démonstration
Notons . On a et .
![{\displaystyle \mathbb {E} [S]=\mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fde1ca39dc70c2cf3abcd30551ae62be1756673)
![{\displaystyle V[S]={\frac {V[X]}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65570d81a3b6eb936566dd50c10838978874749)
Ainsi, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|S-\mathbb {E} [S]\right|\geq \varepsilon \right)\leq {\frac {V[S]}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {V[X]}{n\varepsilon ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32798c19e048fe1d904b9dabede8bc797a2d8982)
D'où le résultat final.
