Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

Pendule conique

Schéma de description d'un pendule conique $\;OA\;$ tournant autour d'un axe vertical $\;\left(\Delta \right)\;$ à vitesse angulaire $\;\omega \;$ constante

     Une tige rigide $\;OA$, de masse négligeable, de longueur $\;l\;$ constante, mobile autour d'un point fixe $\;O$, tourne autour d'un axe vertical $\;(\Delta )\;$ passant par $\;O\;$ avec une vitesse angulaire $\;\omega \;$ constante $\;{\big [}$la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe $\;(\Delta )\;$ par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant${\big ]}$.

     À l'extrémité $\;A\;$ de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

     On désigne par $\;\theta \;$ l'angle $\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}\;$ que la tige $\;OA\;$ fait avec l'axe vertical $\;(\Delta )\;$ orienté dans le sens descendant.

Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme

     Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique » entraîne celui de son inclinaison $\;\theta \;$.

Solution

Schéma de description d'un pendule conique $\;OA\;$ tournant autour d'un axe vertical $\;\left(\Delta \right)\;$ à vitesse angulaire $\;\omega \;$ constante, repérage cylindro-polaire d'axe vertical ascendant de la boule fixée en $\;A\;$ et représentation des forces qui lui sont appliquées

     Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ;

     choisissant de repérer le point matériel $\;M\;$ assimilant la boule fixée en $\;A\;$ en cylindro-polaire d'axe $\;(\Delta )\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$, ses coordonnées cylindro-polaires sont $\;\left\lbrace \rho =l\,\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=-l\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$, la base cylindro-polaire associée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie « directe » $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     bilan des forces appliquées au point$\;M$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ : $\succ \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit encore «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     bilan des forces appliquées au point$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ : $\succ \;$le vecteur tension de la tige rigide $\;{\vec {T}}\;$ porté par $\;OA\;$ et usuellement de sens contraire à $\;{\overrightarrow {OA}}\;$ dans le demi-plan méridien $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ repéré par $\;\varphi$, soit «$\;{\vec {T}}=-T\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+T\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     application de la r.f.d.n. au point$\;M$ : «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» avec «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ vecteur accélération du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen », donnant ici
         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : «$\;{\vec {T}}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» et, comme aucune des forces n'a de composantes sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on en déduit «$\;a_{M,\,\varphi }(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» ;

         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale étant «$\;a_{M,\,\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» $\;{\big (}$applicable si $\;\rho \neq 0{\big )}$,
         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;a_{M,\,\varphi }(t)=0$, une intégrale 1^ère du mouvement du pendule
         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$, «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$» ou, avec «$\;{\dot {\varphi }}(t)=\omega \;$ constante »,
         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$, «$\;\rho (t)=cste'\;$» c.-à-d. la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ ou encore,

         application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$, «$\;\theta =cste''\;$» $\;{\big [}$compte tenu de «$\;\rho =l\;\sin(\theta )=cste'\;$»${\big ]}\;$ c.-à-d. la constance de l'angle d'inclinaison de la tige rigide $\;OA\;$ par rapport à la verticale descendante dans la mesure où le mouvement de rotation de $\;OA\;$ autour de la verticale reste à vitesse angulaire constante soit «$\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$ constante $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}=\theta \;$ constante » .

 

Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical

     Déterminer la relation liant l'inclinaison $\;\theta \;$ du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire $\;\omega \;$ de rotation autour de l'axe vertical ;

     on précisera la valeur critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c.-à-d. telle que $\;\theta \;$ peut être $\;\neq 0$.

Solution

     Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n. sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit :

• sur $\;{\vec {u}}_{\rho }$, «$\;-T\;\sin(\theta )+0=m\;a_{M,\,\rho }(t)\;$» avec «$\;a_{M,\,\rho }(t)=\left[{\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]\!(t)\;$» donnant, dans le cas présent où $\;\rho =cste'\;$ ainsi que $\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$ constante, «$\;T\;\sin(\theta )=m\;\rho \;\omega ^{2}\;$» ou encore, avec $\;\rho =$ $l\;\sin(\theta )$, l'équation suivante «$\;T\;\sin(\theta )=m\;l\;\sin(\theta )\;\omega ^{2}\;$» soit finalement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c}\sin(\theta )\!\!&=&\!\!0&\\{\text{ou,}}\!\!&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!\sin(\theta )\neq 0\!\!&\Downarrow \\T\!\!&=&\!\!m\;l\;\omega ^{2}\!\!&({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;T\;\cos(\theta )-m\;g=m\;a_{M,\,z}(t)\;$» avec «$\;a_{M,\,z}(t)={\ddot {z}}(t)\;$» donnant, dans le cas présent où $\;z=-l\;\cos(\theta )\;$ avec $\;\theta =cste''\;$ donc $\;z\;$ constante, l'équation suivante «$\;T\;\cos(\theta )=m\;g\;\;\;({\mathfrak {2}})\;$».

     Détermination de la relation cherchée : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons $\;\sin(\theta )\neq 0\;$ et par suite les deux équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c}T\!\!&=&\!\!m\;l\;\omega ^{2}\!\!&({\mathfrak {1}})\\T\;\cos(\theta )\!\!&=&\!\!m\;g\!\!&({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$», la 1^ère imposant le caractère strictement positif de $\;T\;$ et la 2^nde celui de $\;\cos(\theta )\;$ c.-à-d. imposant $\;\theta \in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où, de $\;({\mathfrak {2}})\;$ on tire «$\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}\;$» alors que $\;({\mathfrak {1}})\;$ s'écrit «$\;T=m\;l\;\omega ^{2}\;$», l'élimination de $\;T\;$ entre les deux donnant finalement la relation cherchée «$\;{\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}=m\;l\;\omega ^{2}\;$» ou encore «$\;\cos(\theta )={\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}\;$» ;

     Détermination de la relation cherchée : remarque : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2^nd membre est strictement inférieur à $\;1\;$ c.-à-d. si «$\;{\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}<1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\omega >{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», « cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique $\;{\big (}$relativement à la verticale${\big )}\;$ est possible » soit «$\;\omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$» ${\bigg [}$la solution «$\;\cos(\theta )={\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}\;$» nécessite donc «$\;\omega >\omega _{c}\;$»${\bigg ]}$.

     Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement «$\;\sin(\theta )=0\;$ et $\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}\;$»,
     Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 1^ère équation conduisant à «$\;\theta =0\;{\text{ou}}\;\pi \;$» et
     Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2^nde équation à «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{si}}\;\theta =0,\;\;T=m\;g\\{\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}\theta =\pi \;$ impliquant $\;T<0\;$ est possible car $\;OA\;$ est une tige rigide mais
             Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2^nde équation à «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$si la tige rigide était remplacée par un fil idéal, seule $\;\theta =0\;$ resterait possible
             Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2^nde équation à «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil c.-à-d. à $\;T>0{\big )}$.

 

Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

Schéma d'un pendule cycloïdal $\;{\big (}$cycloïde droite inversée ${\big )}\;$ avec représentation de la base locale de Frenet

     Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $\;xOy\;$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x\!\!&=&\!\!a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y\!\!&=&\!\!a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]\;$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$.

     À la date $\;t=0$, on lâche $\;M\;$ de $\;A\;$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et
     À la date $\;\color {transparent}{t=0}$, on lâche $\;\color {transparent}{M}\;$ de $\;\color {transparent}{A}\;$ sans vitesse initiale ; il se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M

     Déterminer l'expression de $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ en fonction de $\;\theta \;$ ${\big [}$il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique $\;{\big (}$si on fait intervenir le temps mais nous ne le ferons pas${\big )}\;$ indépendante des forces appliquées${\big ]}$ ;

     ci-après on rappelle la méthode d'obtention du vecteur unitaire tangentiel de Frenet en un point $\;M\;$ d'une courbe continue,
     ci-après déterminer $\succ \;$les « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$» en fonction de $\;d\theta \;$ puis
     ci-après déterminer $\succ \;$la « valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert \;$» suivi de $\;ds\;$ après choix de l'orientation de la courbe et enfin
     ci-après déterminer $\succ \;$le « vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;M\;$ défini par $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}\;$» en fonction de $\;\theta \;$ dont on peut tirer «$\;\cos(\varphi )={\vec {\tau }}\!\cdot {\vec {u}}_{x}\;$» en fonction de $\;\theta \;\ldots$

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal $\;{\big (}$cycloïde droite inversée ${\big )}\;$ avec représentation de la base locale de Frenet $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ et des forces appliquées $\;{\big (}$en bleu${\big )}$

     À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de cycloïde $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x\!\!&=&\!\!a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y\!\!&=&\!\!a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$,
     on détermine $\succ \;$le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de «$\;{\overrightarrow {OM}}=x(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+y(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \\dy\!\!&=&\!\!a\,\left[0+\sin(\theta )\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;{\overrightarrow {dM}}=a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}\;$», puis

     on détermine $\succ \;$la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;s\;$ repérant le point $\;M$, l'origine du repérage ayant été choisie en $\;O\;$ on utilisant l'expression du « vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» dont on tire «$\;\vert ds\vert$ $=\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {\left\lbrace a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \right\rbrace ^{2}+\left\lbrace a\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace ^{2}}}=a\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+2\;\cos(\theta )+\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )}}\;$» soit, après simplification évidente «$\;\vert ds\vert =a\;{\sqrt {2}}\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+\cos(\theta )}}\;$» ou, en « utilisant la formule de trigonométrie $\;\cos(2\;\xi )=2\;\cos ^{2}(\xi )-1\;$ $\Rightarrow$ $\;1+\cos(2\;\xi )=$ $2\;\cos ^{2}(\xi )\;$», l'expression finale «$\;\vert ds\vert =2\;a\;\vert d\theta \vert \;{\Bigg \vert }\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\!{\Bigg \vert }\;$», ensuite

     on détermine $\succ \;$la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;s\;$ repérant le point $\;M\;$ sachant que $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\theta }{2}}\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ et par suite $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\geqslant 0$, d'où, orientant la portion de cycloïde dans le sens des$\;\theta \;\nearrow$, «$\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta \;$» et enfin

     on détermine $\succ \;$le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;M\;$ «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}\;$» se déduisant de $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ d'où «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\dfrac {a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}}{2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }}\;$» dans lequel on utilise $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}1+\cos(\theta )\!\!&=&\!\!2\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\\sin(\theta )\!\!&=&\!\!2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la simplification suivante «$\;{\vec {\tau }}=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{y}\;$» et par suite «$\;\cos(\varphi )={\vec {\tau }}\!\cdot {\vec {u}}_{x}=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$» ;

          on détermine $\color {transparent}{\succ }\;$le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;\color {transparent}{M}\;$ constatant sur le schéma que «$\;\varphi \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ comme $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$» et que «$\;\varphi \;$ est $\;>0\;$ quand $\;\theta \in \left]0\,,\,\pi \right]\;$», on en déduit que le lien de l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ ${\big (}$ayant une signification directe sur la portion de cycloïde${\big )}\;$ avec le paramètre $\;\theta \;$ ${\big (}$sans signification directe sur la portion de cycloïde ${\big )}\;$ est «$\;\varphi ={\dfrac {\theta }{2}}\;$».

 

Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point

     Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde
          Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne $\;\color {transparent}{s={\overset {\curvearrowright }{OM}}}\;$ en fonction de $\;\varphi \;$ angle d'inclinaison avec $\;Ox\;$ du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$ au même point $\;M\;$ puis,

     Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}\;$ de la portion de cycloïde au point $\;M\;$ en fonction de $\;\varphi \;$
     Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ ${\bigg [}$on rappelle que le rayon de courbure pour une courbe plane peut se déterminer par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\alpha }}\;$ avec $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$» ${\bigg ]}$.

Solution

     Pour déterminer l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde, il suffit d'« intégrer $\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta =4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi \;$ entre $\;0\;$ et $\;\varphi \;$» soit
     Pour déterminer l'abscisse curviligne $\;s=\displaystyle \int _{0}^{\varphi }4\;a\;\cos \!\left(\varphi '\right)\,d\varphi '\;$ donnant finalement «$\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)\;$» ;

     Pour déterminer le rayon de courbure au point $\;M\;$ de la portion de cycloïde s'évaluant par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}\;$» avec $\;ds=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi$, on en déduit aisément «$\;{\mathcal {R}}=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\;$» .

 

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations

     En repérant le point $\;M\;$ par son abscisse curviligne $\;s\;$ et
     en appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe,
         en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, par projection sur $\;{\vec {\tau }}\;$ vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M\;$,
         en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;s(t)\;$ du mouvement de $\;M$, puis
         en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin,
         en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$l'expression de la période $\;T\;$ de ce mouvement.

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal $\;{\big (}$cycloïde droite inversée ${\big )}\;$ avec représentation de la base locale de Frenet $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ et des forces appliquées $\;{\big (}$en bleu${\big )}$

     Les forces appliquées au point $\;M\;$ glissant sans frottement sur la portion de cycloïde étant :

• son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{y}=-m\;g\;\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}-m\;g\;\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$» en utilisant la base locale de Frenet dans laquelle «$\;{\vec {u}}_{y}=$ $\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}+\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ et
• la réaction de la portion de cycloïde $\;{\vec {R}}\perp \;$ à $\;{\vec {\tau }}\;$ par absence de frottement soit «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {n}}\;$», $\;R(t)\;$ pouvant être a priori $\;>0$, $\;=0\;$ ou $\;<0\;$ compte-tenu de la nature bilatérale de la liaison,

     l'application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, nous conduit à «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» dans laquelle
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ défini à l'instant $\;t$ ;      projetant la relation ci-dessus sur $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M\;$ et
     sachant que la composante de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ sur ce vecteur définit l'« accélération tangentielle de $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {\tau }}=a_{\tau ,\,M}\;$» liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant $\;t\;$ par «$\;a_{\tau ,\,M}(t)={\ddot {s}}(t)\;$» , on obtient «$\;-m\;g\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]=m\;{\ddot {s}}(t)\;$» soit,      en éliminant $\;\varphi (t)\;$ au profit de $\;s(t)\;$ par «$\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {s(t)}{4\;a}}\;$», on obtient l'équation différentielle en $\;s(t)\;$ cherchée soit «$\;-m\;g\;{\dfrac {s(t)}{4\;a}}=m\;{\ddot {s}}(t)\;$» ou, en simplifiant «$\;{\ddot {s}}(t)+{\dfrac {g}{4\;a}}\;s(t)=0\;$» c.-à-d.
une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre.      On reconnaît l'équation différentielle d'un « oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{4\,a}}}\;$»
     On reconnaît l'équation différentielle dont la solution s'écrit «$\;s(t)=c\;\cos(\omega _{0}\,t)+d\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$» avec $\;c\;$ et $\;d\;$ constantes d'intégration à déterminer par C.I. «$\;M\;$ lâché de $\;A\;$ sans vitesse initiale »
                 On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme «$\;\color {transparent}{s(t)=c\;\cos(\omega _{0}\,t)+d\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{c}\;$ et $\;\color {transparent}{d}\;$ constantes d'intégration à déterminer par C.I. «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}s(0)\!\!&=&\!\!4\;a\\{\dot {s}}(0)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ » dont on tire
     On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme en utilisant la 1^ère C.I. «$\;c=4\;a\;$» et,
     On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme en utilisant la 2^ème C.I. avec «$\;{\dot {s}}(t)=-c\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)+d\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$», $\;d\;\omega _{0}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;d=0\;$», d'où l'équation horaire en $\;s(t)\;$ «$\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$».

     On en déduit la période $\;T\;$ du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit «$\;T=T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\;$».

     Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici d'où
     Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, l'isochronisme des oscillations d'un pendule cycloïdal.

 

Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M

     Trouver, par projection sur $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal principal de Frenet lié à $\;M\;$, de la r.f.d.n. appliquée à $\;M$,
     Trouver, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la cycloïde agissant sur $\;M\;$ ${\big [}$on l'exprimera en fonction de $\;t\;$ et $\;\varphi \;$ puis
     Trouver, la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de la cycloïde agissant sur $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big [}$on l'exprimera en fonction de $\;\varphi \;$ seul ${\big ]}$.

Solution

     On détermine la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la portion de cycloïde sur $\;M\;$ en projetant la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet $\;{\vec {n}}\;$ $\;{\big (}$voir le schéma de la solution de la question « détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations » plus haut dans cet exercice${\big )}\;$ soit : «$\;R-m\;g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$» avec
«$\;a_{n,\,M}\;$ accélération normale de $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {n}}=a_{n,\,M}\;$»,
liée à la « vitesse instantanée $\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)\;$ du point à l'instant $\;t\;$» par «$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}\;$» ,
«$\;{\mathcal {R}}(t)=4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$ étant le rayon de courbure de la portion de cycloïde en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$»  ;

     On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}\;$ avec remplacement de l'expression de $\;{\mathcal {R}}(t)\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ou,

              On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$           «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {16\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}\;\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)}{4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ou encore,
              On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {4\;a\;\omega _{0}^{2}\;\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)}{\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ;

     On détermine en identifiant $\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$ avec $\;s(\varphi )=4\;a\;\sin(\varphi )\;$ on en déduit $\;\cos(\omega _{0}\,t)=\sin(\varphi )=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)\;$ soit «$\;\omega _{0}\,t\equiv {\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$» dont on déduit
               On détermine en identifiant $\;\color {transparent}{s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{s(\varphi )=4\;a\;\sin(\varphi )}\;$ on en déduit $\;\color {transparent}{\cos(\omega _{0}\,t)=\sin(\varphi )=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)}\;$ soit «$\;\sin(\omega _{0}\,t)=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\cos(\varphi )\;$» d'où, par report,

              On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left(\varphi \right)+{\dfrac {4\;a\;\omega _{0}^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )}{\cos \!\left(\varphi \right)}}\right\rbrace =m\,\left(g+4\;a\;\omega _{0}^{2}\right)\,\cos(\varphi )\;$» soit,
              On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec «$\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {g}{4\;a}}\;$» et après une simplification évidente, «$\;R=2\;m\;g\;\cos(\varphi )\;$» .