Ondes électromagnétiques/Exercices/Polarisation

Exercice

Partie 1

Décrire l'état de polarisation de chacune des 3 ondes représentées par les champs électriques suivants :

1. ${\vec {E}}_{0}={\begin{array}{|l}E_{0}\cos(\alpha )\cos(\omega t-kz)\\E_{0}\sin(\alpha )\cos(\omega t-kz)\\0\end{array}}$
2. ${\vec {E}}_{1}={\begin{array}{|l}E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\E_{1}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\end{array}}$
3. ${\vec {E}}_{2}={\begin{array}{|l}E_{2}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\-E_{2}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\end{array}}$
4. Quel est l'état de polarisation de l'onde dont le champ électrique est ${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}$ en supposant E₁=E₂ ?

Solution

1. Soit ${\vec {u}}_{\alpha }{\begin{array}{|l}\cos(\alpha )\\\sin(\alpha )\\0\end{array}}$.

L'onde 0 est polarisée rectilignement suivant ${\vec {u}}_{\alpha }$.

2. $E_{1,y}=E_{1}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)=E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\right)$

L'onde 1 est polarisée circulairement à gauche.

3. $E_{2,y}=-E_{2}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)=E_{2}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right)$

L'onde 2 est polarisée circulairement à droite.

4. ${\vec {E}}={\begin{array}{|l}2E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\\0\end{array}}$

L'onde représentée par ${\vec {E}}$ est polarisée rectilignement suivant ${\vec {u}}_{x}$.

 

Partie 2

On associe à tout vecteur ${\vec {V}}{\begin{array}{|l}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}=0\end{array}}$ de l'espace la grandeur complexe ${\underline {V}}=V_{x}+iV_{y}$.

1. Quelles sont les amplitudes complexes e₁ et e₂ associées aux champs électriques ${\vec {E}}_{1}$ et ${\vec {E}}_{2}$ ?
2. Montrer que la quantité complexe associée au champ ${\vec {E}}_{0}$ est de la forme ${\underline {E}}_{1}={\underline {e}}_{1}\,e^{j\omega t}+{\underline {e}}_{2}\,e^{-j\omega t}$. Exprimer les amplitudes complexes e₁ et e₂. Conclure
3. Exprimer l'angle entre ${\vec {E}}_{0}$ et $(O,{\vec {x}})$ en fonction de $\arg({\underline {e}}_{1}\cdot {\underline {e}}_{2})$

Solution

1. ${\underline {E}}_{1}=E_{1}\left[\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)+j\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\right]=E_{1}e^{j\omega t}\exp \left(-j\omega {\frac {z}{c}}\right)$

${\underline {E}}_{2}=E_{2}\left[\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)-j\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\right]=E_{2}e^{-j\omega t}\exp \left(j\omega {\frac {z}{c}}\right)$

Donc ${\begin{cases}{\underline {e}}_{1}=E_{1}\exp \left(-j\omega {\frac {z}{c}}\right)\\{\underline {e}}_{2}=E_{2}\exp \left(j\omega {\frac {z}{c}}\right)\\\end{cases}}$

2.

${\begin{aligned}{\underline {E}}_{0}&=E_{0}\cos(\omega t-kz)e^{j\alpha }\\&={\frac {1}{2}}E_{0}\left(e^{j(\omega t-kz)}+e^{-j(\omega t-kz)}\right)e^{j\alpha }\\&={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j\alpha }e^{j\omega t}e^{-jkz}+{\frac {1}{2}}E_{0}e^{j\alpha }e^{-j\omega t}e^{jkz}\\\end{aligned}}$

On pose alors :

${\underline {e}}_{1}={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j(\alpha -kz)}$

${\underline {e}}_{2}={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j(\alpha +kz)}$

Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver E₁ et E₂ tels qu’il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1.

On en déduit que toute onde polarisée rectilignement peut se décomposer comme somme d'une onde polarisée circulairement à gauche et d'une onde polarisée circulairement à droite.

3. $\arg({\underline {e}}_{1}\cdot {\underline {e}}_{2})=\arg \left({\frac {E_{0}^{2}}{4}}e^{2i\alpha }\right)=2\alpha$

$({\vec {u}}_{x},{\vec {E}}_{0})=\arg({\underline {E}}_{0})=\alpha$

Finalement, $({\vec {u}}_{x},{\vec {E}}_{0})={\frac {1}{2}}\arg({\underline {e}}_{1}\cdot {\underline {e}}_{2})$