Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire

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Dans ce chapitre, ${\mathcal {G}}$ est un guide d'ondes :

• de section droite circulaire $r=a$
• supposé illimité dans la direction ${\vec {u}}_{z}$
• parfaitement conducteur
• creux

fin de la boite de navigation du chapitre

On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme $k_{0}={\frac {\omega }{c}}$ et sa longueur d'onde dans le vide est $\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }}$.

Étude des modes TE_0n

On en revient à l'étude de l'équation $\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0$. On ne s'intéresse dans un premier temps qu'aux solutions indépendantes de θ $(B_{z}=B_{z}(r))$

Quantification

Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\\eta =\displaystyle {\frac {B_{z}(\rho )}{B_{z}(0)}}\end{cases}}$.

${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(r{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}\right)+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}+{\frac {{\rm {d}}^{2}B_{z}}{{\rm {d}}r^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow r^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}B_{z}}{{\rm {d}}r^{2}}}+r{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}+k_{\perp }^{2}r^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow k_{\perp }^{2}r^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}\eta }{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+k_{\perp }r{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}+k_{\perp }^{2}r^{2}\eta =0\\&\Leftrightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}\eta }{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}+\eta =0\\\end{aligned}}$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites $\eta (0)=1$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 est bien connue. Il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0, notée J₀ : $\eta (\rho )=J_{0}(\rho )$.

Premiers zéros de J'₀

n	z'0n
1	3,8317
2	7,0156
3	10,1735
4	13,3237
5	16,4706

$B_{z}(r)=B_{z}(0)J_{0}(k_{\perp }r)$

L'onde propagée doit cependant satisfaire une autre condition aux limites : ${\vec {\nabla }}B_{z}\cdot {\vec {u}}_{r}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $\left.{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}\right|_{\rho =k_{\perp }a}=0$, soit $J_{0}'(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Quantification du mode TE_0n dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z'_{0n}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z'_{0n}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0.

Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'₀ est appelé mode TE_0n.

Fin du théorème

Dispersion et coupure

La quantification $k_{\perp }={\frac {z'_{0n}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un entier $n\in \mathbb {N} ^{*}$ donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z'_{0n}}{a}}\right)^{2}$

Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{0n}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z'_{0n}}{a}}\right)^{2}}}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TE_n0

Posons $(\omega _{0n})_{c}=c{\frac {z'_{0n}}{a}}$.

Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :

• La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{0n})_{c}^{2}}{c}}$.
• $(\omega _{0n})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème

Étude des modes TE_mn

À présent, considérons le cas où une dépendance en θ est possible.

${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\\end{aligned}}$

On remarque alors une équation du type équation harmonique en θ. On pense alors à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $B_{z}=R(r)e^{jm\theta }$

Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\{\mathfrak {R}}=\displaystyle {\frac {R(\rho )}{R(0)}}\end{cases}}$.

${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}R}{{\rm {d}}r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}R}{{\rm {d}}r}}+\left(k_{\perp }^{2}-{\frac {m^{2}}{r^{2}}}\right)R(r)=0\\&\Leftrightarrow \rho ^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+\rho {\frac {{\rm {d}}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho }}+\left(\rho ^{2}-m^{2}\right){\mathfrak {R}}(\rho )=0\\\end{aligned}}$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites ${\mathfrak {R}}(0)=1$.

De plus, il faut que B_z soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

${\begin{aligned}B_{z}(r,\theta +2\pi )=B_{z}(r,\theta )&\Leftrightarrow e^{jm\theta }=e^{jm(\theta +2\pi )}\\&\Leftrightarrow e^{jm\theta }=e^{jm\theta }e^{j2m\pi }\\\end{aligned}}$

Il est donc impératif que $m\in \mathbb {N}$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est connue : il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J_m : ${\mathfrak {R}}(\rho )=J_{m}(\rho )$.

$B_{z}(r,\theta )=B_{z}(0)J_{m}(k_{\perp }r)e^{jm\theta }$

Comme tout à l’heure, il faut que ${\vec {\nabla }}B_{z}\cdot {\vec {u}}_{r}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $J_{m}'(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Double quantification des modes TE_mn dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z'_{mn}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z'_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.

Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'_m est appelé mode TE_mn.

Fin du théorème

Premiers zéros de J'_m

n	z'0n	z'1n	z'2n
1	3,8317	1,8412	3,0542
2	7,0156	5,3314	6,7061
3	10,1735	8,5363	9,9695
4	13,3237	11,7060	13,1704
5	16,4706	14,8636	16,3475

La quantification $k_{\perp }={\frac {z'_{mn}}{a}},~m\in \mathbb {N} ,~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z'_{mn}}{a}}\right)^{2}$

Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{mn}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z'_{mn}}{a}}\right)^{2}}}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TE_mn

Posons $(\omega _{mn})_{c}=c{\frac {z'_{mn}}{a}}$.

Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :

• La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{mn})_{c}^{2}}{c}}$.
• $(\omega _{mn})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème

Fondamental

Le mode TE₁₁ est appelé fondamental, car c’est le mode qui a la fréquence caractéristique la plus basse.

Étude des modes TM_mn

L'étude des modes TM dans le guide circulaire se fait de manière tout à fait analogue, comme nous allons le voir. On en revient à l'étude de l'équation $\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0$.

$\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0$

De la même manière, on pense à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $E_{z}=R(r)e^{jm\theta }$

Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\{\mathfrak {R}}=\displaystyle {\frac {R(\rho )}{R(0)}}\end{cases}}$.

$\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0\Leftrightarrow \rho ^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+\rho {\frac {{\rm {d}}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho }}+\left(\rho ^{2}-m^{2}\right){\mathfrak {R}}(\rho )=0$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites ${\mathfrak {R}}(0)=1$.

De plus, il faut que ε soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

$E_{z}(r,\theta +2\pi )=E_{z}(r,\theta )\Leftrightarrow m\in \mathbb {N}$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J_m :

$E_{z}(r,\theta )=E_{z}(0)J_{m}(k_{\perp }r)e^{jm\theta }$

Toutefois, la condition aux limites en $r=a$ est différente des modes TE puisque la condition porte sur E_z et non sur B_z. Il faut que $E_{z}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $J_{m}(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Double quantification des modes TM_mn dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z_{mn}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.

Le mode TM propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J_m est appelé mode TM_mn.

Fin du théorème

Premiers zéros de J_m

n	z0n	z1n	z2n
1	2,4048	3,8317	5,1356
2	5,5201	7,0156	8,4172
3	8,6537	10,1735	11,6198
4	11,7915	13,3237	14,7960
5	14,9309	16,4706	17,9598

La quantification $k_{\perp }={\frac {z_{mn}}{a}},~m\in \mathbb {N} ,~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z_{mn}}{a}}\right)^{2}$

Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{mn}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z_{mn}}{a}}\right)^{2}}}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TM_mn

Posons $(\omega _{mn})_{c}=c{\frac {z_{mn}}{a}}$.

• La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{mn})_{c}^{2}}{c}}$.
• $(\omega _{mn})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème