Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition

Exercice 1

1. On note $h$ l'application définie sur $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ par : $h\left(x\right)=1-{\frac {1}{x}}$. Vérifier que $h$ est à valeurs dans $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ et calculer $h\circ h\left(x\right)$ et $h\circ h\circ h\left(x\right)$.
2. Soit $f:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\to \mathbb {R}$ une application telle que (pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$)
   $f\left(x\right)+f\circ h\left(x\right)=ax+b$.
   Calculer, en fonction de $x$, $f\left(x\right)$, $h\left(x\right)$ et $h\circ h\left(x\right)$, les valeurs de $f\circ h\left(x\right)$, $f\circ h\circ h\left(x\right)$ et $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)$.
3. En déduire que pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$, $f\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$.
4. Vérifier que réciproquement, la fonction $g:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\to \mathbb {R}$ définie par $g\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$ vérifie $g\left(x\right)+g\circ h\left(x\right)=ax+b$.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ :

1. • $h\left(x\right)\neq 0$ car ${\frac {1}{x}}\neq 1$ car $x\neq 1$,
   • $h\left(x\right)\neq 1$ car ${\frac {1}{x}}\neq 0$ car $x\times {\frac {1}{x}}=1\neq 0$,
   • $h\circ h\left(x\right)=1-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}=1-{\frac {x}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$,
   • $h\circ h\circ h\left(x\right)={\frac {1}{1-h\left(x\right)}}={\frac {1}{\frac {1}{x}}}=x$ ;
2. • $f\circ h\left(x\right)=ax+b-f\left(x\right)$ par hypothèse sur $f$,
   • $f\circ h\circ h\left(x\right)=ah\left(x\right)+b-f\circ h\left(x\right)=ah\left(x\right)+b-\left(ax+b-f\left(x\right)\right)=ah\left(x\right)-ax+f\left(x\right)$,
   • $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)=ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+f\circ h\left(x\right)=ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b-f\left(x\right)$ ;
3. $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)=f\left(x\right)$ d'après la question 1, d'où le résultat (d'après la fin de la question 2).
4. Si (pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$) $g\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$ alors $g\circ h\left(x\right)={\frac {ax-ah\circ h\left(x\right)+ah\left(x\right)+b}{2}}$ donc $g\left(x\right)+g\circ h\left(x\right)=ax+b$.