Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

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Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1^ère espèce

Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en échelon de tension d'amplitude $\;E$

     Soit $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ la tension aux bornes de l'association série
   Soit $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ la tension aux bornes de « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E$ » avec
                  Soit $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ la tension aux bornes de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}K\;{\text{fermé pour}}\qquad \;t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\K\;{\text{se fermant pour}}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\K\;{\text{ouvert pour}}\qquad t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;\delta t\;$
                  Soit $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ la tension aux bornes de est la durée de fermeture de l'interrupteur »  ;

     pendant la petite durée $\;\delta t\;$ que dure la fermeture de $\;K$,
     pendant la petite durée $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ varie de façon continue et très rapidement de $\;0\;$ à $\;E\;$,
      pendant la petite durée $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ voir diagramme horaire ci-contre $\;{\big (}$en rouge sur le schéma${\big )}$.

Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E

     On modélise la tension $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ précédente, en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$,
     On modélise la tension $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ précédente, en une fonction $\;e(t)$, discontinue en$\;t=0$, appelée « échelon de tension d'amplitude$\;E\;$» définie selon «$\;e(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$»,
     On modélise la tension $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ précédente, en une fonction $\;\color {transparent}{e(t)}$, discontinue en$\;\color {transparent}{t=0}$, appelée « voir diagramme horaire ci-dessus $\;{\big (}$en bleu sur le schéma${\big )}$ ;

     On modélise la tension $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ précédente, en une fonction $\;\color {transparent}{e(t)}$, discontinue en$\;\color {transparent}{t=0}$, appelée « cet échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ a donc une discontinuité en$\;t=0\;$ correspondant au
        On modélise la tension $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ précédente, en une fonction $\;\color {transparent}{e(t)}$, discontinue en$\;\color {transparent}{t=0}$, appelée « cet échelon de tension d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ a donc « saut fini$\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})=E\;$».

Discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E

     L'échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ est « discontinu de 1^ère espèce en$\;t=0\;$» car il est
     L'échelon de tension $\;\color {transparent}{e(t)}\;$ d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ est « discontinu à gauche et à droite de $\;t=0\;$ avec des limites finies distinctes «$\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow 0^{+}}e(t)=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow 0^{-}}e(t)=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e(0^{-})\neq e(0^{+})\right\rbrace \;$» ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension en$\;t=0\;$ par son saut$\;{\big (}$fini${\big )}\;$à la traversée de$\;t=0\;$ défini par
     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension en$\;\color {transparent}{t=0}\;$ par «$\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$» égal à l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E

     L'échelon de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'amplitude $\;E\;$ noté $\;e_{t_{0}}(t)\;$ est défini, par rapport à l'échelon de tension $\,e(t)\;$ de même amplitude $\;E\;$ en faisant un changement d'origine des temps selon

«$\;e_{t_{0}}(t)=e(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,

  L'échelon de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ noté $\;\color {transparent}{e_{t_{0}}(t)}\;$ il est donc discontinu de 1^ère espèce en$\;t=t_{0}\;$ car il est
  L'échelon de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ noté $\;\color {transparent}{e_{t_{0}}(t)}\;$ il est donc discontinu à gauche et à droite de $\;t=t_{0}\;$ avec des limites finies distinctes
  L'échelon de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ noté $\;\color {transparent}{e_{t_{0}}(t)}\;$ il est donc discontinu à gauche et à droite de $\;\color {transparent}{t=t_{0}}\;$ avec «$\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{+}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{-}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e_{t_{0}}(t_{0}^{-})\neq e_{t_{0}}(t_{0}^{+})\right\rbrace \;$» ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon décentrée de tension en$\;t=t_{0}\;$ par son saut$\;{\big (}$fini${\big )}\;$à la traversée de$\;t=t_{0}\;$ défini par
     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon décentrée de tension en$\;\color {transparent}{t=t_{0}}\;$ par «$\;\Delta e_{t_{0}}(t_{0})=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})-e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$» égal à l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon.

Discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière

Exemple de graphe d'une fonction $\;f(x)\;$ discontinue de 1^ère espèce en $\;x=x_{0}$

     Soit une fonction scalaire réelle $\;f\;$ d'une variable réelle $\;x\;$ continue sur les intervalles $\;\left]{\mathfrak {a}}\,,\,x_{0}\right[\;$ et $\;\left]x_{0}\,,\,{\mathfrak {b}}\right[\;$ avec $\;{\mathfrak {a}}<{\mathfrak {b}}\;$,
     Soit « la fonction $\;f(x)\;$ est discontinue de 1^ère espèce en$\;x=x_{0}\;$» si «$\;f(x)\;$ est continue à gauche et à droite de $\;x_{0}\;$ sans l'être en $\;x_{0}\;$»
« la fonction $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ est discontinue de 1^ère espèce en$\;\color {transparent}{x=x_{0}}\;$» c.-à-d. si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}^{+})\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;f(x_{0}^{-})\neq f(x_{0}^{+})\right\rbrace \;$»  ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de la fonction$\;f(x)\;$en$\;x=x_{0}\;$ par son saut$\;{\big (}$fini${\big )}\;$à la traversée de$\;x=x_{0}\;$ défini par
     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de la fonction$\;\color {transparent}{f(x)}\;$en$\;\color {transparent}{x=x_{0}}\;$ par «$\;\Delta f(x_{0})=f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$».

     Remarque : « la discontinuité de 1^ère espèce » est encore appelée « discontinuité de saut fini ».

Échelon unité (ou fonction d'Heaviside)

     L'« échelon unité $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside ${\big )}\;$» est défini par «$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$», il est
             L'« échelon unité $\;\color {transparent}{\big (}$ou fonction d'Heaviside$\color {transparent}{\big )}\;$» est discontinu de 1^ère espèce en$\;t=0$, le saut fini à cet instant étant «$\;\Delta Y(0)=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;$».

     Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle
  Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand «$\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1\;$» $\;\ldots \;$

     Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside décentrée${\big )}\;$ selon «$\;Y_{t_{0}}(t)=Y(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,
       Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré discontinu(e) de 1^ère espèce en$\;t=t_{0}$, le saut fini à cet instant étant «$\;\Delta Y_{t_{0}}(t_{0})=Y_{t_{0}}(t_{0}^{+})-Y_{t_{0}}(t_{0}^{-})=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;$».

     Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside  : soit un échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E$, nous pouvons le réécrire sous la forme
      Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside : soit un échelon de tension «$\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$» .

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité

     Soit une grandeur permanente $\;G\;$ imposée à partir de $\;t=0$, cela revient à « créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$» défini selon
  Soit une grandeur permanente $\;\color {transparent}{G}\;$ imposée à partir de $\;\color {transparent}{t=0}$, cela revient à « créer, à l'instant $\;\color {transparent}{t=0}$, un échelon «$\;g(t)=G\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$».

     Exemples de mécanique : $\succ \;$on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}$, l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial,
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$cela revient à $\bullet \;$« créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'amplitude vectorielle $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}\;$» défini selon
  Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$cela revient à $\color {transparent}{\bullet }\;$« créer, à l'instant $\;\color {transparent}{t=0}$, un échelon de force «$\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» ou,
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$cela revient à $\bullet \;$« créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon de composante horizontale de force $\;f(t)\;$ d'amplitude $\;F\;$» défini selon
  Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$cela revient à $\color {transparent}{\bullet }\;$« créer, à l'instant $\;\color {transparent}{t=0}$, un échelon de composante horizontale de force «$\;f(t)=F\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}F\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$»
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$cela revient à $\color {transparent}{\bullet }\;$« créer, à l'instant $\;\color {transparent}{t=0}$, un échelon de composante horizontale de force ${\big [}$obtenu en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}{\big ]}$.

     Exemples de mécanique : $\succ \;$Il y a aussi des cas où une force non permanente $\;{\vec {F}}(t)\;$ existe à partir d'un instant particulier choisi comme instant initial, on pourrait alors utiliser la fonction d'Heaviside
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$Il y a aussi des cas où une force non permanente $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(t)}\;$ existe à partir d'un instant particulier pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant $\;t=0\;$
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$Il y a aussi des cas où une force non permanente $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(t)}\;$ existe à partir d'un instant particulier bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$Il y a aussi des cas où une force non permanente $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(t)}\;$ existe à partir d'un instant particulier «$\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$», exemple ci-après :
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol $\;{\vec {R}}(t)$, qui pourrait être réécrite sous la forme
   Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol «$\;{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {R}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$».

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que
     Bien sûr on pourrait trouver d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

« Dérivée 1^ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2^ème espèce

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en pic de Dirac d'impulsion $\;E$

     La tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$»
     La tension aux bornes de l'association série s'écrivant «$\;e_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec $\;\delta t\;$ durée de la variation
     La tension aux bornes de l'association série continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de $\;0\;$ à $\;E\;$, on en déduit la forme de
     sa dérivée temporelle «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$diagramme horaire ci-contre en rouge${\big )}$.

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

     L'aire $\;{\mathcal {A}}(O)\;$ de la surface comprise entre le « pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ et l'axe des temps » $\;{\big \{}$ou plus simplement l'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ »${\big \}}\;$ se définissant par «$\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$»
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,-{\dfrac {\delta t}{2}}\right[\;$ et $\;\left]{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,+\infty \right[$, selon «$\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$»
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ ce qui s'intègre simplement en «$\;{\mathcal {A}}(O)=\left[e_{\text{réel}}(t)\right]_{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}=e_{\text{réel}}\!\left({\dfrac {\delta t}{2}}\right)-e_{\text{réel}}\!\left(-{\dfrac {\delta t}{2}}\right)=E-0\;$» soit finalement

l'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ valant $\;E\;$» « quelle que soit la durée $\;\delta t\;$ de variation de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$».

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E

     Ayant modélisé $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ $\Rightarrow$ une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à l'instant de fermeture de l'interrupteur,
      Ayant modélisé $\;\color {transparent}{e_{\text{réel}}(t)}\;$ en un échelon de tension d'amplitude $\;\color {transparent}{E}\;$ en faisant tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à instant de discontinuité de 1^ère espèce,
     on cherche à modéliser $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur ,
     on cherche à modéliser $\;\color {transparent}{{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)}\;$ en faisant tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}$, ce qui, conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où elle ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ;
     mais modéliser $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ par la fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où elle ne serait pas définie $\Rightarrow$ la propriété de « l'aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$» sans signification sur le modèle !

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en pic de Dirac d'impulsion $\;E$

     Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$» il convient de
     Aussi cherchant à maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation de$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$quand$\;\delta t\rightarrow 0$, mais
     Aussi cherchant à maintenir la notion le pic tendant vers $\;\infty$, la modélisation ne peut plus être une fonction $\;\ldots$

     On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » dont les propriétés $\;{\big (}$comme la dérivation ou l'intégration ${\big )}$
           On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » dont les propriétés prolongent celles des fonctions $\;\ldots$

     La modélisation de «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$» conduit à une « distribution de Dirac » que les physiciens appellent
     La modélisation de «$\;\color {transparent}{{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)}\;$ quand $\;\color {transparent}{\delta t\rightarrow 0}\;$» conduit à une « pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$» devant correspondre à

«$\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» $\;{\big (}$voir ci-contre le diagramme en bleu${\big )}\;$ avec la propriété d'
« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;E\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}(t)\;dt=E\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {e}}(t)\;dt=E\;$» .

Discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E

     Une fonction $\;f\;$ du temps $\;t$, continue en tout instant à l'exception de$\;t=0$, est dite
 Une fonction $\;\color {transparent}{f}\;$ du temps $\;\color {transparent}{t}$, « discontinue de 2^ème espèce en$\;t=0\;$» « si l'une au moins des limites de$\;f(t)\;$à gauche ou à droite de$\;t=0$, n'existe pas ou est infinie » ;

     la modélisation de la fonction «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$» conduisant à une « distribution de Dirac que nous appelons pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$» devant correspondre à

«$\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» pour laquelle,

     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions une limite à gauche et à droite infinie ou encore
     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à gauche de $\;t=0\;$ «$\;{\dot {e}}(0)-{\dot {e}}(0^{-})\;$ valant $\;+\infty \;$» et
     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à droite de $\;t=0\;$ «$\;{\dot {e}}(0^{+})-{\dot {e}}(0)\;$ valant $\;-\infty \;$» ce qui vérifierait bien une discontinuité de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ d'où
     si cette modélisation était une fonction, nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac d'impulsion $\;E$ » est discontinu de 2^ème espèce en$\;t=0\;$.

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E

     Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion $\;E\;$» noté «$\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$» est défini, par rapport au « pic de Dirac de tension de même impulsion $\;E\;$» noté «$\,{\dot {e}}(t)\;$»
                 Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion $\;\color {transparent}{E}\;$» noté «$\;\color {transparent}{{\dot {e}}_{t_{0}}(t)}\;$» est défini, en faisant un changement d'origine des temps selon
            Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion $\;\color {transparent}{E}\;$» noté «$\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)={\dot {e}}(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>t_{0}\\+\infty \;{\text{ pour }}t=t_{0}\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<t_{0}\end{array}}\right.\;$» avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;E\;$» soit
                        Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion $\;\color {transparent}{E}\;$» noté «$\;\color {transparent}{{\dot {e}}_{t_{0}}(t)={\dot {e}}(t-t_{0})=+\infty \;{\text{ pour }}t=t_{0}}\;$» «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;$» .

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)

     Le « pic de Dirac d'impulsion unité  » doit correspondre à «$\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$» , avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;1\;$» soit
                            Le « pic de Dirac d'impulsion unité » doit correspondre à «$\;\color {transparent}{\delta (t)=+\infty \;{\text{pour}}\;t=0}\;$», avec la propriété d’«$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=1\;$» .

     Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac d'impulsion unité » est discontinu de 2^ème espèce en$\;t=0\;$.

     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$» comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle
          Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «$\;\color {transparent}{Y(t)=1\;{\text{pour}}\;t>0}\;$» comme « limite, quand $\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1$,
     Propriétés : nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière $\;{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     Propriétés : nous obtenons, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;\delta (t)\;$» ;

     Propriétés : le fait que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}Y_{\text{réel}}(t)=Y(t)\\\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\delta (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec l'« aire sous le pic $\;\infty \;$ de $\;\delta (t)\;$ égale à l'amplitude de $\;Y(t)\;$»
        Propriétés : le fait que «$\;\color {transparent}{\left\lbrace \lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\delta (t)\right\rbrace }\;$» conduit à « définir la dérivée temporelle de l'échelon unité » par « le pic de Dirac d'impulsion unité » soit «$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$» .

     Propriétés : Si on utilise «$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$» et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic $\;\infty \;$» est bien égale à $\;1\;$ en effet

«$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {Y}}(t)\;dt=\left[Y(t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1-0=1\;$» .

     Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion unité » selon «$\;\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\+\infty \;{\text{pour }}\;t=t_{0}\\0\;\quad \,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » discontinu de 2^ème espèce en$\;t=t_{0}\;$ et
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant $\;t_{0}\;$ soit «$\;\delta _{t_{0}}(t)={\dot {Y_{t_{0}}}}(t)\;$».

     Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$, nous pouvons le réécrire sous la forme
                     Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension «$\;{\dot {e}}(t)=E\;\;\delta (t)\;$» , en effet
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : l'échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ ayant été réécrit selon «$\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$» et
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$ pouvant être considéré comme la
                      Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac de tension $\;\color {transparent}{{\dot {e}}(t)}\;$ dérivée temporelle $\;{\big (}$au sens des distributions${\big )}\;$ de $\;e(t)\;$,
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : d'où «$\;{\dot {e}}(t)=E\;\;{\dot {Y}}(t)\;$» soit le résultat énoncé compte-tenu de «$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$».

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité

     Soit une grandeur permanente $\;G\;$ imposée à partir de $\;t=0$, cela revenant à « créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$» défini selon
  Soit une grandeur permanente $\;\color {transparent}{G}\;$ imposée à partir de $\;\color {transparent}{t=0}$, cela revenant à « créer, à l'instant $\;\color {transparent}{t=0}$, un échelon «$\;g(t)=G\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$», on obtient,
     « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent » , le « pic de Dirac $\;{\dot {g}}(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'impulsion $\;G\;$» soit
               « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac «$\;{\dot {g}}(t)=G\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ valant $\;G\;$» soit
                    « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac «$\;\color {transparent}{{\dot {g}}(t)=G\;\;\delta (t)=+\infty \;{\text{pour }}t=0}\;$» avec la propriété d’«$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {g}}(t)\,dt=G\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=G\;$» .

     Exemple de mécanique : un véhicule $\;B\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;A\;$ à l'arrêt $\;{\big (}$l'instant de collision est choisi comme instant initial${\big )}$, le choc étant très intense et durant très peu de temps,
      Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt la force de collision horizontale que le véhicule $\;B\;$ exerce sur le véhicule $\;A$, peut être matérialisée par
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\bullet \;$un « pic de Dirac $\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)=F_{A\leftarrow B}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ de force, d'impulsion vectorielle $\;{\vec {I}}_{A\leftarrow B}=I_{A\leftarrow B}\;{\vec {u}}_{x}$»,
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\color {transparent}{\bullet }\;$défini selon «$\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)={\vec {I}}_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t>0\\{\vec {\infty }}\;\,{\text{pour }}t=0\\{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» ou, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$,
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\bullet \;$un « pic de Dirac $\;F_{A\leftarrow B}(t)\;$ de composante horizontale de force, d'impulsion $\;I_{A\leftarrow B}\;$»,
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\color {transparent}{\bullet }\;$défini selon «$\;F_{A\leftarrow B}(t)=I_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$»,
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\color {transparent}{\bullet }\;$défini avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ valant $\;I_{A\leftarrow B}\;$» soit
     Exemple de mécanique : un véhicule $\;\color {transparent}{B}\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;\color {transparent}{A}\;$ à l'arrêt $\color {transparent}{\bullet }\;$défini avec la propriété d’«$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }F_{A\leftarrow B}(t)\,dt=I_{A\leftarrow B}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=I_{A\leftarrow B}\;$» .

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que
     Bien sûr on pourrait trouver d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial

     Soit une « excitation $\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» dans laquelle «$\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$ sont des constantes de même dimension que $\;e(t)\;$» et
           Soit une « excitation $\;\color {transparent}{e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)}\;$» dans laquelle les « cœfficients multiplicateurs $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en $\;s\;$ »,
     nous admettrons que «$\;e(t)\;$est discontinue en$\;t=0\;$du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants », soit ici
     nous admettrons que «$\;e(t)\;$ discontinue de 2^ème espèce si $\;\beta \neq 0\;$» et
     nous admettrons que «$\;\color {transparent}{e(t)}\;$ discontinue de 1^ère espèce si $\;\beta =0\;$» $\;{\big (}$avec $\;\alpha \;$ nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène${\big )}$.

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre en $\;y(t)\;$ «$\;{\dot {y}}(t)+k\;y(t)=e(t)\;$» pour laquelle l'excitation «$\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» est
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(t)+k\;y(t)=e(t)}\;$» pour laquelle l'excitation $\bullet \;$discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$» et
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(t)+k\;y(t)=e(t)}\;$» pour laquelle l'excitation $\bullet \;$discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$»  ;
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;{\big (}$en considérant qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\color {transparent}{\searrow }\;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;\color {transparent}{\big (}$en considérant que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction ${\big )}\;$ soit :
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 1^ère espèce »,
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$» où l'excitation «$\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» est
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\bullet \;$discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$» et
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\bullet \;$discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$»  ;
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité,
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;{\big (}$en considérant qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\color {transparent}{\searrow }\;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;\color {transparent}{\big (}$en considérant que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction ${\big )}\;$
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\color {transparent}{\searrow }\;$ de un à condition que le numéro zéro d’espèce de discontinuité ne soit pas atteint,
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dans le cas contraire il y a stagnation du numéro d'espèce de discontinuité simultanément avec la $\;\searrow \;$ de l'ordre de la dérivée soit :
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue »,
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 0^ème espèce c.-à-d.
           nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)}\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère «$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(t)}\;$ continue » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1^ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation

Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation

     Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ »
     Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée $\;\delta t\;$ entourant l'instant $\;0\;$ et
     Nous avons modélisé en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ pour définir les notions mathématiques d'« échelon » et de « discontinuité de 1^ère espèce » , puis
     nous avons formé la dérivée 1^ère temporelle de cette fonction $\;{\big (}$ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe $\;C^{\,1}\;$${\big )}\;$ et
     nous avons modélisé cette dérivée 1^ère en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac  » et de « discontinuité de 2^ème espèce » ,
    Nous avons modélisé ${\big (}$ces deux notions pouvant être définies « directement »  en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée${\big )}$ ;
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente
     nous allons appliquer à « la dérivée 2^nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ »
     nous allons appliquer à « ${\big (}$dérivée 2^nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe $\;C^{\,2}\;$${\big )}\;$
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ mais $\;\ldots$
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquement $\;{\big (}$tout au moins à ma connaissance${\big )}$,
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac inversé ” et
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ discontinuité de 3^ème espèce ”
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » de l'interrupteur $\;K\;$ excessivement petite mais non nulle
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc ${\big [}$utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont ceux que nous aurions
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc $\color {transparent}{\big [}$en travaillant avec les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ et en faisant tendre, après tout calcul, $\;\delta t\;$ vers $\;0{\big ]}$.

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »

     La tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$» étant
     La tension aux bornes de l'association série $\bullet \;$«$\;e_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec $\;\delta t\;$ durée de la variation continue, très rapide et dérivable de $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ de $\;0\;$ à $\;E\;$,

     la dérivée 1^ère temporelle de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$» étant
     La tension aux bornes de l'association série $\bullet \;$«$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on suppose dérivable , nous en déduisons

     la dérivée 2^nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$» selon

Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$

     La tension aux bornes de l'association série $\bullet \;$«$\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très faible valeur}}<0\qquad \qquad \,{\text{pour }}t={\dfrac {\delta t}{4}}\\\searrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t=0\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]-{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,0\right[\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=-{\dfrac {\delta t}{4}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,-{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$voir le
     La tension aux bornes de l'association série $\color {transparent}{\bullet }\;$« diagramme horaire ci-contre en rouge${\big )}$.

     En faisant « tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$» $\blacktriangleright \;$la fonction «$\;e_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$» avec
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la fonction «$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace \;$ l'échelon unité $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside ${\big )}$,
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la fonction discontinu(e) de 1^ère espèce en $\;t=0\;$»,
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\blacktriangleright \;$la fonction dérivée 1^ère temporelle «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;E\;\delta (t)\;$» avec «$\;\delta (t)\;$ le pic de Dirac d'impulsion unité, $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$,
           En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la fonction dérivée 1^ère temporelle «$\;\color {transparent}{{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)}\;$ a été modélisée en $\;\color {transparent}{E\;\delta (t)}\;$» avec « discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$»
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$${\bigg [}$le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {Y}}(t)\;$ de l'échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$,
                 En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\bigg [}$le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)}\;$ s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {Y}}(t)}\;$ de l'échelon unité discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\bigg [}$la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à un » correspondant à l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;$»${\bigg ]}$ ;
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$à ce stade nous pouvons déduire que « la modélisation de $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$» $\Rightarrow$ « la modélisation de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;{\dot {e}}(t)=E\;{\dot {Y}}(t)=E\;\delta (t)\;$»
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$et par suite il est légitime d'induire la modélisation suivante

     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\blacktriangleright \;$la fonction dérivée 2^nde temporelle «$\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ se modélise en $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$» avec «$\;{\dot {\delta }}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{pour }}\;t>0\\-\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{+}\\0\qquad {\text{pour }}\;t=0\\+\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{-}\\0\qquad {\text{pour }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ baptisé “ double pic de Dirac inversé ”
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la fonction dérivée 2^nde temporelle «$\;\color {transparent}{{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)}\;$ se modélise en $\;\color {transparent}{E\;{\dot {\delta }}(t)}\;$» avec « de discontinuité qualifiée “ de 3^ème espèce en $\;t=0\;$”  »
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$${\Bigg [}$le “ double pic de Dirac inversé ” s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ du « pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace$,
                            En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\Bigg [}$le “ double pic de Dirac inversé ” s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {\delta }}(t)}\;$ du « pic de Dirac discontinu de 2^ème espèce en $\;t=0\;$» et
                 En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\Bigg [}$le “ double pic de Dirac inversé ” s'identifiant à la dérivée 2^nde temporelle $\;{\ddot {Y}}(t)\;$ de l'« échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$,
                       En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\Bigg [}$le “ double pic de Dirac inversé ” s'identifiant à la dérivée 2^nde temporelle $\;\color {transparent}{{\ddot {Y}}(t)}\;$ de l'« échelon unité discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0\;$» avec
     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\Bigg [}$la propriété d'« aire sous le “ double pic de Dirac inversé ” égale à zéro » correspondant à l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {\delta }}(t)\;dt=0\;$» ${\Bigg ]}$.

Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” en t = 0

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$» où l'excitation «$\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)+\gamma \;E_{3}\;{\dot {\delta }}(t)\;$»
     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation est $\bullet \;$“ discontinue de 3^ème espèce ” « si $\;\gamma \neq 0\;$»,
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\bullet \;$discontinue de 2^ème espèce « si $\;\gamma =0\;$ avec
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\color {transparent}{\bullet }\;$discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$» et
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\bullet \;$discontinue de 1^ère espèce « si $\;\gamma =0\;$» avec            Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où l'excitation $\color {transparent}{\bullet }\;$discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$»  ;
     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)}\;$» où remarque : $\;\alpha \;$ est sans unité, $\;\beta \;$ en $\;s\;$ et $\;\gamma \;$ en $\;s^{2}$ ;
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité,
     nous admettrons $\blacktriangleright \;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;{\big (}$en considérant qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\color {transparent}{\searrow }\;$ de un simultanément à l’ordre de la dérivée $\;\color {transparent}{\big (}$en considérant que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction ${\big )}\;$
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$que le numéro d’espèce de discontinuité $\;\color {transparent}{\searrow }\;$ de un à condition que le numéro zéro d’espèce de discontinuité ne soit pas atteint,
     nous admettrons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dans le cas contraire il y a stagnation du numéro d'espèce de discontinuité simultanément avec la $\;\searrow \;$ de l'ordre de la dérivée soit :
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\gamma \neq 0\;$», l'excitation étant “ discontinue de 3^ème espèce ” , la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est “ discontinue de 3^ème espèce ”  »,
                 nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\gamma \neq 0}\;$», l'excitation étant “ discontinue de 3^ème espèce ”, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 2^nde espèce » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 1^ère espèce »,
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^nde espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^nde espèce »,
           nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$», l'excitation étant discontinue de 2^nde espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue »,
     nous admettrons $\bullet \;$« si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce »,
           nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue » et
     nous admettrons $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$», la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».