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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les torseurs
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Espace affine euclidien tridimensionnel
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Un espace tridimensionnel
est dit
- affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre et
- euclidien si la « direction de l'espace affine »[1] est un espace
[2] dans lequel on définit un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine
égale à la norme du vecteur associé au bipoint
et l'angle entre deux bipoints
se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints
.
Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :
Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
On définit un champ de vecteurs
![{\displaystyle \;{\vec {f}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc3ab569148dcf7237da929630a76b99df00b3f)
en
![{\displaystyle \;M\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8453735d5b95ad9db6ba39d7f301eaccb51be1b9)
point de l'espace affine euclidien tridimensionnel
[3] selon :
[3], où
![{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60de68607314ce2b6a90c52b2c838f7cdabbd4af)
est l'espace
![{\displaystyle \;\mathbb {R} -{\text{vectoriel}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1fc3136615e8ffbd1d9c7de9e5c700827504df)
de dimension trois, « direction de l'espace affine »
[1] euclidien
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0a78cace2cd9e75b4d5a2d13746176198ecc0a)
.
Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
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Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel
Un champ de vecteurs
![{\displaystyle \;{\vec {f}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6237ee5008409fd6ec676357fac022b3a6cd7a3c)
défini en
[3] est «
équiprojectif » si
.
On démontre alors qu'il existe un
endomorphisme[4] antisymétrique[5] ![{\displaystyle \;u\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60a8dfb9f5dc447ca563fcf47d86d2a0874de91)
tel que
.
Domaine pratique d'utilisation de torseurs
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Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique
et plus particulièrement en mécanique du solide
, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme
- le champ de vitesses d'un solide[6] défini en chacun des points de ce dernier
les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante
ou
- le champ de moments de forces de même source[7] appliquées en chacun des points d'un solide[6]
ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres
ou
![{\displaystyle \;\ldots \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396b681c9a75a490595674807dc0a022bce8c889)
Définition d'un torseur
Un torseur est un
champ de vecteurs équiprojectif
[8] défini sur un
espace affine euclidien
[3] tridimensionnel soit plus précisément une application
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
de
[3] dans
![{\displaystyle \;{\big [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc77ccf4cd1e4760870ff0965d83540929ae03a2)
direction
[1] de
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc95aabb089123a3a9c34904cef1a9b17264fb1)
telle que
[3],
vérifiant
[3],
[9].
Appellation :
avec
est appelé « moment du torseur
au point
», c'est donc un élément de
direction[1] de
, le torseur
étant une application de
[3] dans
direction[1] de
.
Notion de résultante d'un torseur
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Début d’un théorème
Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)
La relation de Varignon
[10] (admise) s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque :
Forme directe : Soit un torseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
sur
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0a78cace2cd9e75b4d5a2d13746176198ecc0a)
, il existe un unique vecteur
![{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98bf9323896cb2080ea0f629f33d41b40a3615b)
de
![{\displaystyle \;{\big [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc77ccf4cd1e4760870ff0965d83540929ae03a2)
direction
[1] de
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc95aabb089123a3a9c34904cef1a9b17264fb1)
vérifiant
[11],
étant « la résultante du torseur ».
Forme réciproque : Si
est une application de
sur
direction[1] de
et
Forme réciproque : s'il existe un couple
tel que
Forme réciproque : alors
est un torseur sur
et
en est « la résultante ».
Fin du théorème
Remarque : D'après la relation de Varignon[10] on constate que le vecteur
d'une part et
d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de l'espace affine
cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'espace
, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de
et de
, ce dernier qui, par construction, ne dépend pas de l'orientation de l'espace étant nécessairement un vecteur polaire
ou vrai vecteur
[12] :
Remarque :
le 1er type de torseur correspondant à
ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine
est un vecteur polaire
ou vrai vecteur
[12],
Remarque : ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41223adc3fb4184077611ffa755692ec7b7cb338)
![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
sont des vecteurs polaires
ou vrais vecteurs
[12], indépendants de l'orientation de l'espace
dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur axial
ou pseudo-vecteur
[13] et
Remarque : ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41223adc3fb4184077611ffa755692ec7b7cb338)
![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
ainsi que
sont des vecteurs axiaux
ou pseudo-vecteurs
[13], dépendants de l'orientation de l'espace,
Remarque :
le 2ème type de torseur correspondant à
dépendant de l'orientation de l'espace affine
est un vecteur axial
ou pseudo-vecteur
[13] et comme
est un vecteur polaire
ou vrai vecteur
[12]
dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur polaire ou
ou vrai vecteur
[12] et il en est de même des vecteurs
soit, en résumé,
Remarque : ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41223adc3fb4184077611ffa755692ec7b7cb338)
![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
ainsi que
et
sont des vecteurs polaires
ou vrais vecteurs
[12], indépendants de l'orientation de l'espace et
Remarque : ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41223adc3fb4184077611ffa755692ec7b7cb338)
![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
est un vecteur axial
ou pseudo-vecteur
[13], dépendant de l'orientation de l'espace.
Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini
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Un torseur
défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel
[3] est déterminé par un couple de deux vecteurs
chacun à
direction[1] de
; on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante
est un vecteur polaire
ou vrai vecteur
[12] ou si elle est un vecteur axial
ou pseudo-vecteur
[13] :
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)
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Dans ce cas, le torseur
défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel
[3] étant déterminé par un couple de deux vecteurs
étant la direction[1] de
, on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
- un 1er vrai vecteur
ou vecteur polaire
[12]
indépendant du point
en lequel
est appliqué et
- un 2nd pseudo-vecteur
ou vecteur axial
[13] noté
dépendant a priori du point
en lequel
est appliqué
plus précisément
;
ce couple d'un vrai vecteur[12] et d'un pseudo-vecteur[13]
constitue « la réduction du torseur
au point
[3] »,
- le 1er vrai vecteur[12] étant la résultante du torseur et
- le 2nd pseudo-vecteur[13] le moment du torseur au point
,
cette réduction du torseur
en
[3] s'écrivant symboliquement
[14],[15].
Remarques : D'après la note « 15 » l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée
[16] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point
quelconque de
[3], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes[17] de la réduction du torseur au point
[3] soit, avec
, il est possible de réécrire la réduction du torseur
au point
[3] par ses coordonnées plückeriennes
.
Remarques : D'après la relation de Varignon[10], la connaissance de « la réduction du torseur
en un point quelconque
[3] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point
[3] selon
[18],[19].
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)
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Dans ce cas, le torseur
défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel
[3] étant déterminé par un couple de deux vecteurs
étant la direction[1] de
, on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
- un 1er pseudo-vecteur
ou vecteur axial
[13]
indépendant du point
en lequel
est appliqué et
- un 2nd vrai vecteur
ou vecteur polaire
[12] noté
dépendant a priori du point
en lequel
est appliqué
plus précisément
;
ce couple d'un pseudo-vecteur[13] et d'un vrai vecteur[12]
constitue « la réduction du torseur
au point
[3] »,
- le 1er pseudo-vecteur[13] étant la résultante du torseur et
- le 2nd vrai vecteur[12] étant le moment du torseur au point
,
cette réduction du torseur
en
[3] s'écrivant symboliquement
[14],[20].
Remarques : D'après la note « 15 » l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée
[21] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point
quelconque de
[3], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes[17] de la réduction du torseur au point
[3] soit, avec
, il est possible de réécrire la réduction du torseur
au point
[3] par ses coordonnées plückeriennes
.
Remarques : D'après la relation de Varignon[10], la connaissance de « la réduction du torseur
en un point quelconque
[3] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point
[3] selon
[18],[22].
Diverses opérations sur les torseurs
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Deux torseurs
et
sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point
sont égaux soit
.
La somme de deux torseurs
et
est le torseur dont les éléments de réduction en un point
sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point
soit
.
Multiplication d'un torseur par un scalaire
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Soit
un scalaire quelconque et
un torseur également quelconque, le torseur
est le torseur dont les éléments de réduction en un point
sont les éléments de réduction du torseur au même point
multipliés par
soit
.
Un torseur
est nul ssi ses éléments de réduction en un point
sont tous deux nuls soit
[23].
Définition
Les invariants d'un torseur
défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel
sont les grandeurs liées au torseur qui sont indépendantes du point où ce dernier est appliqué.
Ce sont :
- la résultante
du torseur
,
- la projection du moment du torseur
sur sa résultante
soit «
» appelée « invariant scalaire du torseur »
se démontre d'après la relation de Varignon[10] :
[24]
et
- la relation d'équiprojectivité «
»
contenu dans la définition d'un torseur[25]
.
Notion d'axe central d'un torseur
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Définition de point central d'un torseur
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Définition
Un point
![{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c075162b7f0c0b6af0e0cfd65fdf547f4fc82cd)
en lequel le moment du torseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
a même direction que la résultante
![{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98bf9323896cb2080ea0f629f33d41b40a3615b)
de ce dernier
[26] est dit «
central »
l'existence d'au moins un point de ce type est admise
![{\displaystyle {\big )}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d2bc300aa4c4d63c6e9929b4cd6b9de93852ea)
c'est-à-dire
est un point central du torseur
ssi
[27]
.
Définition d'axe central d'un torseur
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Définition
L'ensemble
![{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fafc348e4bc21e61ccabee92514858decdb87d1)
des points centraux du torseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
définit «
l'axe central » du torseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
c'est-à-dire
est l'axe central du torseur
[28].
Propriétés du torseur sur son axe central
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- Si la résultante
du torseur
est
, son axe central
est une droite de vecteur directeur
et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central
c'est la droite de vecteur directeur
issue de
en effet,
d'après la relation de Varignon[10] on peut écrire
ou
en utilisant une formule du double produit vectoriel[29] et par suite,
,
avec
soit enfin
établissant la propriété directe « si
, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur
»,
réciproquement, si
avec
point central dont l'existence est admise, l'application de la relation de Varignon[10] donne
d'où
et par suite,
établissant la propriété réciproque « la droite de vecteur directeur
passant par le point central
dont l'existence est admise
est l'axe central du torseur ».
- Le moment du torseur
est le même en tout point de l'axe central
en effet,
étant une droite de vecteur directeur
dans la mesure où
est
,
, l'application de la relation de Varignon[10] nous donne
soit la propriété énoncée dans le cas
mais qui est trivialement vérifiée dans le cas
.
- Si la résultante
du torseur
est
, la norme du moment d'un torseur
est minimale sur son axe central
en effet, avec
,
est une droite de vecteur directeur
et par suite, considérant un point
et un autre point
quelconque
, l'application de la relation de Varignon[10] nous donnant
avec
à
et
à
nous en déduisons
, ceci restant vrai pour n'importe quel point
compte-tenu du fait que le moment du torseur est constant sur son axe central.
Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque
modifier
Le torseur nul
est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque
sont nuls soit
[30].
Un torseur couple
est un torseur pour lequel les éléments de réduction non nuls en n'importe quel point
se réduisent à son moment
soit
.
- « Le moment d'un torseur couple
est constant en tout point
» en effet appliquant la relation de Varignon[10] à un couple de points quelconques distincts
on obtient
soit
une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués, ainsi le moment du couple
sera-t-il simplement noté
sans ajouter
en indice précisant le point
où il est évalué
;
- un torseur couple
n'a pas d'axe central
, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple nécessiterait qu'en ce point le moment du torseur soit nul, ce qui est impossible puisque le moment d'un torseur couple est constant et non nul.
- La somme de deux couples
et
est un couple si leurs moments
et
ne sont pas opposés
en effet, en n'importe quel point
, les éléments de réduction de chacun des couples étant
et
, on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point
[31] assurant que cette somme est un couple de moment
;
- si les moments des deux couples
et
sont opposés, la somme de ces deux couples
est le torseur nul
.
Définition d'un torseur glisseur
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Un torseur glisseur
est un torseur pour lequel il existe un point particulier
en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante
soit
.
Propriétés d'un torseur glisseur
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- « Le moment d'un torseur glisseur
est nul en tout point de son axe central
» en effet le point particulier
est un point de
car
dans la mesure où
d'une part ou d'autre part l'axe central
étant le lieu à
minimale et
étant la valeur minimale
et le moment du torseur en tout point de l'axe central
étant le même est donc égal à celui du point particulier
c'est-à-dire nul ;
- l'axe central
d'un torseur glisseur
est encore appelé support du glisseur ;
- en tout point
les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c'est-à-dire
[32].
Autres caractérisations d'un torseur glisseur
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- Un torseur
dont les éléments de réduction en un point
sont non nuls et orthogonaux
est un glisseur en effet, considérant un point
a priori quelconque
et y appliquant la relation de Varignon[10] à partir du point
, on obtient
dans laquelle
et
étant tous deux
à
, il est possible de déterminer
vérifiant
[33] et par suite de déduire que le torseur est un glisseur dont le support passe par ce point particulier
.
- Un torseur
non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire «
» est nul en effet
si
est un glisseur et si
son axe central
,
alors que si
,
est
à
d'où la proposition directe,
réciproquement si
cela signifie qu'il pourrait exister des points
tels que
[34], l'existence éventuelle de ces points assurant alors que le torseur est un glisseur et, en faisant l'hypothèse qu'il n'existe aucun de ces points, on aurait, pour tous les points
,
à
[35] ce qui permettrait de déduire l'existence de points
tels que
et contredirait l'hypothèse de l'inexistence de tels points, la conclusion étant donc que le torseur est un glisseur.
- La somme de deux glisseurs
et
est un glisseur si leurs axes centraux
et
sont concourants en
en effet, en ce point, les éléments de réduction de chacun des glisseurs étant
et
, on en déduit ceux de la somme des deux glisseurs au même point
[36] assurant que cette somme est un glisseur dont le support est la droite issue de
de vecteur directeur
ou
La somme de deux glisseurs
et
est un glisseur si leurs axes centraux
et
sont parallèles
ou confondus
avec leurs résultantes non opposées en effet
Remarques : ![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
si
est
à
en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont
et
[37], le moment de
étant a priori
[38] et
à
[39], cela assure que
est un glisseur, plus précisément qu'il existe un point
au plan
tel que
ou, avec
les projetés orthogonaux de
sur les axes centraux respectifs
et
des deux glisseurs
et
,
[40] et par suite, que le support du glisseur
est la droite issue de
de vecteur directeur
et
Remarques : ![{\displaystyle \;\succ \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d706d9a5fe5084d84902765c99c3b0c8c2638e99)
si
est confondu avec
, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite,
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont
et
[37]
est un glisseur dont le support est l'axe central commun
de vecteur directeur
.
- Dans le cas le plus général
correspondant au cas où les axes centraux
et
des deux glisseurs
et
ne sont pas concourants
, la somme
des deux glisseurs
et
n'est pas un glisseur.
- La somme de deux glisseurs
et
est un couple si leurs axes centraux
et
sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet si
est
à
en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont
et
[41], le moment de
étant
et constant[42], ce qui établit que la somme
est un couple.
- La somme de deux glisseurs
et
est le torseur nul si leurs axes centraux
et
sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet si
est confondu avec
, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite,
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont
et
[41]
est le torseur nul
.
Décomposition centrale d'un torseur quelconque
modifier
Début d’un théorème
Théorème
« Tout torseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db82c73d0fe8f131d7f834ed0de64f796953469)
peut être décomposé de façon unique en la somme d'un torseur glisseur
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac5bba382b854f01dc987a4f48d7e6fb870473a)
de support identique à l'axe central
![{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fafc348e4bc21e61ccabee92514858decdb87d1)
du torseur et d'un torseur couple
![{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08eb2ef1840b8b00c531798c8d0f76e8e215b5c5)
» soit encore
tel que
.
Fin du théorème
Démonstration : Soit le torseur
et ses éléments de réduction en un point
de son axe central
,
[43], nous décomposons les éléments de réduction du torseur
en
de la façon unique suivante
,
Démonstration : le 1er terme du 2nd membre
étant les éléments de réduction d'un glisseur unique
en
de support « la droite issue de
de vecteur directeur
» qui est aussi l'axe central
du torseur
et
Démonstration : le 2ème terme du 2nd membre
les éléments de réduction d'un couple unique
de moment constant égal à
.
Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur
en un point de son axe central
que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables à connaître pour établir cette décomposition sont
[44] encore appelés « éléments centraux de
».
Produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition
Le produit
![{\displaystyle \;{\big (}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363181ed7b77ab61b5a1c7ff5682bc4c0071ee87)
ou comoment
![{\displaystyle {\big )}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d2bc300aa4c4d63c6e9929b4cd6b9de93852ea)
des deux torseurs
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de133485f6f9a87cbe05071fc200bf6a05826da8)
et
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f496896c3fa2c1bad2de3ec1c64d59f832bb0f)
dont les éléments de réduction en un même point quelconque
![{\displaystyle \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ad850bcaa7b1d441bf0a52eb501dfcebbe51a1)
sont
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebadc7ff0459b831d6c9632c7d0c70f5e8ee458c)
et
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b752019fc47d34947a122cadf10871ff87d8fcf4)
est la grandeur
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}\in \mathbb {R} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743f7921eedda6abb574d8d78944f38577ca6cd5)
telle que
.
Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs
modifier
- Le produit
ou comoment
de deux torseurs
et
est commutatif c'est-à-dire
;
- le produit
ou comoment
de deux torseurs
et
est indépendant du point
en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet, si on choisit un point
différent de
, seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon[10]
et par suite on en déduit
expression dans laquelle on reconnaît
d'où
en fonction de
selon
soit, en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire[45]
d'une part et l'anticommutativité de la multiplication vectorielle[46]
d'autre part
et par suite
(C.Q.F.D.)[47] ;
- Le produit
ou comoment
de deux torseurs couples
et
est identiquement nul c'est-à-dire
[48] ;
- Le produit
ou comoment
de deux torseurs couple et glisseur
et
n'est jamais nul c'est-à-dire
[49] ;
- Le produit
ou comoment
de deux torseurs glisseurs
et
est nul si leurs axes centraux
et
sont concourants c'est-à-dire, en notant
le point d'intersection des axes centraux,
[50] ou
Le produit
ou comoment
de deux torseurs glisseurs
et
est nul si leurs axes centraux
et
sont confondus
en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme le cas particulier des axes centraux concourants en tous leurs points
ou
Le produit
ou comoment
de deux torseurs glisseurs
et
est nul si leurs axes centraux
et
sont parallèles
en effet si les éléments de réduction du 1er torseur glisseur
sont pris en un point
de son axe central
mais évidemment hors de l'axe central
du 2ème torseur glisseur
on a
en notant
un point de l'axe central
et
car les trois vecteurs
étant coplanaires leur produit mixte est nul
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
- le produit
ou comoment
de deux torseurs glisseurs
et
est non nul si leurs axes centraux
et
ne sont pas concourants, parallèles ou confondus, en effet comme il n'existe aucun point commun des axes centraux
et
, on choisit un point
pour évaluer les éléments de réduction des deux torseurs
et
d'où
car les trois vecteurs
n'étant pas coplanaires leur produit mixte est non nul
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Exemples de torseurs en mécanique
modifier
Le torseur statique
ou torseur d'action
sert à modéliser les actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel.
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
peut être représentée par une force
s'exerçant sur le point
ou par une répartition de forces de somme nulle
définissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant en au moins deux points distincts «
» ;
chaque force
s'exerçant sur le point
est un torseur glisseur
dont le support
est la droite issue de
de vecteur directeur
, ses éléments de réduction en un point
quelconque sont
[51],
chaque répartition de forces de somme nulle
est un torseur couple
, ses éléments de réduction en un point
quelconque sont
[52],[53] ;
finalement l'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels
est un torseur
nommé « torseur statique » dont les éléments de réduction en un point
quelconque sont
[54].
Le torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide
ou système indéformable de points matériels
mais ne peut pas être utilisé pour un système déformable
ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique
.
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
dans un référentiel donné
est équiprojectif donc représentable par un torseur en effet
d'où, en repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement au point
,
, ce qui permet de déduire de
ou
établissant le caractère équiprojectif du champ de vitesse d'un solide ;
d'après la forme directe de la relation de Varignon[10],[55] on peut définir, pour le torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique », un vecteur unique
vérifiant
, le vecteur
définissant la résultante du torseur cinématique[56] ;
les éléments de réduction du torseur cinématique du solide en un point
de ce dernier s'écrivent
, le mouvement du solide diffère suivant la nature de son torseur cinématique :
- le torseur cinématique est un torseur couple si
traduisant une translation du solide, la relation de Varignon[10] s'écrivant
pour
, dans ce cas le torseur cinématique n'a pas d'axe central,
- le torseur cinématique est un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point
tel que
point central du glisseur
, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de
de vecteur directeur
»[57], les autres points
et
de vecteurs vitesse
selon la relation de Varignon[10] établissent que le solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée
autour du point fixe
du solide[58],
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si
avec l'existence d'un point
tel que
à
point central du torseur[59]
, le torseur ayant pour axe central
« la droite issue de
[59] de vecteur directeur
», les autres points
de vecteurs vitesse
selon la relation de Varignon[10] établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée
autour l'axe central
et d'une translation de vecteur vitesse
à
et
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si
avec absence de point
tel que
à
absence de point central du torseur
, le torseur n'ayant donc pas d'axe central, considérant un point quelconque
de vecteur vitesse
et un autre point
et
de vecteurs vitesse
selon la relation de Varignon[10] établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée
autour d'un axe
à
passant par
et d'une translation de vecteur vitesse
à
.
Ce torseur est un 1er exemple à moments formés de vecteurs polaires
ou vrais vecteurs
[12] et dont la résultante est un vecteur axial
ou pseudo-vecteurs
[13].
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la cinétique newtonienne.
Le torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel »[60] d'un système de points matériels
déformable ou indéformable
.
La grandeur cinétique d'un système de points matériels
dans le référentiel d'étude est représentée, à l'instant
, par son vecteur quantité de mouvement
du point
où
est la masse du point et
son vecteur vitesse à l'instant
;
la quantité de mouvement
du point
est un torseur glisseur
dont le support
est la droite issue de
de vecteur directeur
, ses éléments de réduction en un point
quelconque sont
[61] ;
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels
est un torseur
nommé « torseur cinétique » dont les éléments de réduction en un point
quelconque sont
[62],
- la résultante
du torseur cinétique est notée
et appelée « résultante cinétique » et
- le moment
du torseur cinétique est, en physique, notée
[63] et appelé « moment résultant cinétique » au point
, il s'écrit donc, en physique,
et la relation de Varignon[10] lui est applicable selon
ou encore
.
Le torseur cinétique du système de points matériels
dans le référentiel d'étude à l'instant
est :
- un torseur couple si
traduisant l'immobilité du C.D.I[64].
du système quand celui-ci est fermé[65], la relation de Varignon[10] s'écrivant
pour
quelconque, dans ce cas le torseur cinétique n'a pas d'axe central,
- un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point
tel que
point central du glisseur
, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de
de vecteur directeur
»[66], en un autre point
et
le moment résultant cinétique s'écrit
ou
comme on le note préférentiellement en physique
selon la relation de Varignon[10] établissant que le moment résultant cinétique du système en
est égal au moment cinétique en
du point
auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
- un torseur non particulier si
avec l'existence d'un point
tel que
à
point central du torseur[67]
, le torseur ayant pour axe central
« la droite issue de
[67] de vecteur directeur
», en un autre point
et
le moment résultant cinétique s'écrit
ou
comme on le note préférentiellement en physique
selon la relation de Varignon[10] établissant que le moment résultant cinétique du système en
résulte de la composition du mouvement résultant cinétique en
et du moment cinétique en
du point
auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants étant perpendiculaires entre eux[68] et
- un torseur non particulier si
avec absence de point
tel que
à
absence de point central du torseur
, le torseur n'ayant pas d'axe central, considérant un point
par rapport auquel le moment résultant cinétique est
et un autre point
et
par rapport auquel le moment résultant cinétique s'écrit
ou
comme on le note préférentiellement en physique
selon la relation de Varignon[10] établissant que le moment résultant cinétique du système en
résulte de la composition du mouvement résultant cinétique en
, point quelconque, et du moment cinétique en
du point
auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants étant a priori quelconques.
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la dynamique newtonienne.
Le torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel »[60] d'un système de points matériels
déformable ou indéformable
.
La grandeur dynamique d'un système de points matériels
dans le référentiel d'étude est représentée, à l'instant
, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement
du point
où
est la masse du point et
son vecteur accélération à l'instant
;
la dérivée temporelle de la quantité de mouvement
du point
est un torseur glisseur
dont le support
est la droite issue de
de vecteur directeur
, ses éléments de réduction en un point
quelconque sont
[69] ;
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels
est un torseur
nommé « torseur dynamique » dont les éléments de réduction en un point
sont
[70],
- la résultante
du torseur dynamique est appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération »[71],[72] et
- le moment
du torseur dynamique, notée en physique
[73] est appelé, par quelques uns, « moment résultant dynamique » au point
[74], il s'écrit donc, en physique, selon
et la relation de Varignon[10] peut lui être appliquée selon
ou encore
.
Soit
[54] le torseur statique s'exerçant sur le solide
ou, en tenant compte des remarques développées dans la note « 54 »,
et
Soit
le torseur cinématique du solide pour lequel
doit être un point du solide,
le produit
ou comoment
des torseurs statique et cinématique relatif au solide
, à savoir
, nécessite de choisir
, il s'écrit alors
correspondant à la puissance développée par la résultante dynamique
lors de la translation de vecteur vitesse
augmentée de celle développée par le moment résultant dynamique
lors de la rotation de vecteur rotation instantanée
autour du point
, c'est-à-dire
la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide ;
en conclusion le produit
ou comoment
des torseurs statique et cinématique relatif au solide
évalue la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide
dans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit
[75].
- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 et 1,09 Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
- ↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
- ↑ 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 et 3,24 Ou sous-ensemble de
, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ Ici application de
direction de
dans
.
- ↑ L'adjoint d'un endomorphisme
de
, direction de l'espace affine
, est l'endomorphisme
tel que
dans laquelle
représente la multiplication scalaire définie sur
ainsi
est le produit scalaire de
sur
,
étant l'élément de
, image de
par l'endomorphisme
,
est le produit scalaire de
sur
et enfin ce produit scalaire devant être égal à
c'est-à-dire au produit scalaire de
, image de
par l'endomorphisme adjoint
, sur
définit l'endomorphisme adjoint de
;
les endomorphismes égaux à leur adjoint sont dits « symétriques »
exemple
avec
car
et
les endomorphiceux opposés à leur adjoint sont dits « antisymétriques »
exemple
avec
car
, le produit scalaire
étant le produit mixte
en adoptant la notation usuelle de la multiplication scalaire ainsi que celle des vecteurs pour les éléments de
égal à
par permutation circulaire du produit mixte ou à
par commutativité du produit scalaire et enfin à
par anticommutativité du produit vectoriel
.
- ↑ 6,0 et 6,1 On rappelle qu'au sens de la mécanique un solide est un système de points matériels indéformable.
- ↑ Par exemple, le moment des forces gravitationnelles créées par la Terre ou forces électrostatiques dues à un corps électrisé
La notion de moment de force est introduite dans le paragraphe « définition (du moment vectoriel d'une force) » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
.
- ↑ C'est un abus fréquemment utilisé, on devrait énoncer « l'image d'un torseur est un champ de vecteurs
», le torseur étant une application d'un espace affine sur la direction de ce dernier.
- ↑ L'équiprojectivité du torseur
peut encore être écrite selon
.
- ↑ 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 et 10,22 Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique
- ↑ Le torseur
étant un champ de vecteurs équiprojectif et ayant admis qu'un tel champ équiprojectif vérifiait la propriété « il existe un endomorphisme antisymétrique
tel que
» nous en déduisons que l'endomorphisme antisymétrique
est tel que
.
- ↑ 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 et 12,13 Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 13,09 13,10 et 13,11 Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 14,0 et 14,1
et
sont appelées « éléments de réduction du torseur
»
ou coordonnées vectorielles du torseur
, seul le 2ème élément
ou la 2ème coordonnée
dépend du point
de la réduction.
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur
à partir d'un 1er vrai vecteur
et un 2nd pseudo-vecteur
, ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel
direction de
, de celui incluant l'image de
par torseur noté
pour concrétiser la différenciation
ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs
, que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de
et d'une de
, considérées comme distinctes si on discerne
de
attention il est impératif de discerner
de
pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois
.
- ↑
étant une base de
permettant de décomposer
ainsi que tous les vecteurs du type
et
une base de
permettant de décomposer tous les moments de torseur
avec
et
de même direction et de même sens
resp.
et
de même direction et de même sens ainsi que
et
de même direction et de même sens
.
- ↑ 17,0 et 17,1 De Julius Plücker (1801 - 1868) mathématicien et physicien allemand, ayant obtenu des résultats fondamentaux en géométrie analytique dans le domaine des mathématiques et effectué des recherches sur les rayons cathodiques, entre autres, dans le domaine de la physique.
- ↑ 18,0 et 18,1 Ou
compte-tenu du fait que
n'est qu'une autre écriture de
.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que
et
étant décomposés sur
alors que
et
le sont sur
, nous devons poser
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace
voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur
à partir d'un 1er pseudo-vecteur
et un 2nd vrai vecteur
, ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel
direction de
et incluant l'image de
par torseur, de
dans lequel la résultante
du torseur est générée pour concrétiser la différenciation
ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs
, que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de
et d'une de
, considérées comme distinctes si on discerne
de
on rappelle qu'il est impératif de discerner
de
pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois
.
- ↑
étant une base de
permettant de décomposer tous les vecteurs du type
ainsi que tous les moments de torseur
et
une base de
permettant de décomposer
avec
et
de même direction et de même sens
resp.
et
de même direction et de même sens ainsi que
et
de même direction et de même sens
.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que
,
ainsi que
étant décomposés sur
alors que
l'est sur
, nous devons poser
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace
voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ Il s'agit de l'élément neutre de l'addition des torseurs.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ N'est donc pas à démontrer à partir de la relation de Varignon
c'est en fait la relation de Varignon que nous avons admise et qui peut être démontrée à partir de la relation d'équiprojectivité, démonstration non exposée
;
toutefois la relation de Varignon étant admise, nous pouvons vérifier aisément que la relation d'équiprojectivité en découle en effet
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ Si le moment du torseur en
ou si la résultante
est nul(le), le caractère « même direction » est considéré comme assuré
- ↑ Ou
.
- ↑ Ou
.
- ↑ Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On vérifie que les éléments de réduction en un autre point
différent de
sont aussi nuls en effet, la résultante étant invariante reste nulle en
et le moment du torseur en
s'obtenant par application de la relation de Varignon donne
.
- ↑ Le moment de la somme des deux couples est non nul car les moments
et
ne sont pas opposés.
- ↑ Le moment du torseur glisseur
en
s'obtient en appliquant la relation de Varignon à partir du point particulier
pour lequel
.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur
sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base
étant colinéaire et de même sens que la résultante
on pose
et
colinéaire et de même sens que le moment du torseur en
c'est-à-dire
on pose
, en choisissant
comme origine, avec
,
se réécrit
qui s'annule pour
telles que
.
- ↑ En effet
sinon, comme pour ces éventuels points
on a
le torseur serait le torseur nul, ce qui est exclu.
- ↑ En effet
avec
pourrait impliquer
ce qui est exclu par hypothèse.
- ↑ La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car la direction de la résultante de chacun des glisseurs étant celle de son axe central et ces dernières étant différentes,
et
ayant des directions différentes ne peuvent avoir une somme nulle.
- ↑ 37,0 et 37,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car
et
ne sont pas opposées.
- ↑ Mais s'il est nul, cela prouve que la somme des deux glisseurs
est un glisseur dont le support est la droite passant par ce point
.
- ↑ Car chaque moment de glisseur étant
à la direction commune de
et de
, leur somme l'est aussi.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur
sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base
étant colinéaire et de même sens que les résultantes
et
on pose
et
et
colinéaire et de même sens que
on pose
, en choisissant
comme origine, avec
,
se réécrit
qui s'annule pour
.
- ↑ 41,0 et 41,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est nulle car
et
sont opposées.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur
sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base
étant colinéaire et de même sens que les résultantes
et
on pose
et
avec
et
colinéaire à la perpendiculaire aux axes centraux dans le plan commun de ces derniers, orienté de
vers
on pose
la distance orthogonale entre les deux axes centraux
, en notant
et
les points respectifs de
et
de même cote que le point
où les éléments de réduction sont évalués, en prenant le milieu de
comme origine et en posant
l'origine ayant été choisie à la même cote que le point
,
se réécrit
.
- ↑ Nous supposons que le torseur
n'est ni un couple
, ni un glisseur
, ni le torseur nul.
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur est constant sur son axe central, il est donc indépendant du point
choisi.
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés du produit mixte » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction de ce dernier, les éléments de réduction du torseur étant indiqués évalués en un point
de son axe central
mais pouvant l'être aussi en n'importe quel point
car si le moment du glisseur n'est pas nul hors de son axe central, le produit avec la résultante nulle du couple l'est
- ↑ Si les éléments de réduction du 1er torseur glisseur sont pris en un point
de son axe central
mais hors de l'axe central
du 2ème torseur glisseur on a
et
car les trois vecteurs
étant coplanaires leur produit mixte est nul
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème torseur glisseur sont pris en un point
hors des deux axes centraux
et
, aucun des moments de glisseur n'est nul
et
en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire
voir le paragraphe « propriétés du produit mixte » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
d'une part et l'anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
d'autre part
;
en fait ces justifications n'avaient pas lieu d'être faites car nous avons établi que le produit
ou comoment
de deux torseurs est indépendant du point en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par
et anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître
le vecteur position du point
.
- ↑ Le point
en lequel est effectué la réduction n'est indiqué en indice des accolades car les éléments de réduction d'un torseur couple ne dépendent pas de ce point.
- ↑ Le moment de ce torseur couple sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur couple par
et anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
nous pouvons vérifier aisément, sous la forme utilisée en physique, l'indépendance du moment du coupla relativement au point de réduction, en effet, si nous prenons un autre point
, le moment du couple évalué en
se calcule par
soit, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle,
.
- ↑ 54,0 et 54,1 Le torseur statique est aussi la somme du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
et de celui des actions intérieures au système
lequel est le torseur nul d'après le principe des actions réciproques ;
la résultante du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
, notée en physique
et appelée résultante dynamique est aussi celle du torseur statique
,
le moment évalué en
du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
, noté en physique
et appelé moment résultant dynamique en
est aussi celui du torseur statique
au même point
;
le torseur statique
s'écrit donc, en physique
.
- ↑ Voir le paragraphe notion de résultante d'un torseur plus haut dans le chapitre.
- ↑ Appelé, dans le domaine de la physique, vecteur « rotation instantanée ».
- ↑ Le vecteur rotation instantanée
n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus bien qu'ayant un point
fixe.
- ↑ En effet la rotation de
à l'instant
se faisant autour du support du torseur cinématique
de direction variable mais passant par le point fixe
, elle se fait autour de ce dernier.
- ↑ 59,0 et 59,1 Point de
non nécessairement fixe sur ce dernier.
- ↑ 60,0 et 60,1 On parle de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels quand les grandeurs utilisées dépendent à la fois du mouvement du ssystème et de l'inertie de ce dernier qui s'oppose à toute modification de son mouvement.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par
et anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître
le vecteur position du point
.
- ↑ Le moment de ce torseur cinétique sera écrit, en physique, sous la forme
.
- ↑ «
» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Centre D'Inertie.
- ↑ Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » où on a établi que
dans laquelle
est la masse du système et
le vecteur vitesse de son C.D.I.
.
- ↑ Le vecteur résultante cinétique
n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus et il en est de même du point
non nécessairement fixe.
- ↑ 67,0 et 67,1 Point de
non nécessairement fixe dans ce dernier.
- ↑ En effet
est
à
alors que
est
à
.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par
et anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître
le vecteur position du point
.
- ↑ Le moment de ce torseur dynamique sera écrit, en physique, sous la forme
.
- ↑ Ce que je désapprouve car cette appellation ne fait pas référence à l'aspect inertiel de la résultante.
- ↑ Pourrait être appelée « résultante dynamique » si l'appellation n'était pas déjà utilisée pour la résultante du torseur statique
en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème de la résultante cinétique appliquée au système
voir le paragraphe « énoncé du théorème de la résultante cinétique » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
nous établit que la résultante du torseur statique est égale à celle du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé, toutefois, comme la confusion n'est plus possible pour un système ouvert, je préfère dire « résultante du torseur dynamique » pour nommer
.
- ↑ «
» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Ce que je désapprouve car l'appellation « moment résultant dynamique » est déjà utilisée pour le moment du torseur statique
en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème du moment cinétique vectoriel appliquée au système
voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen en
fixe » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
nous établit que le moment résultant du torseur statique en un point fixe est égale à celui du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé avec
fixe, toutefois, comme la confusion n'est plus possible dans les autres cas, je préfère dire « moment du torseur dynamique » pour nommer
.
- ↑ La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable alors que l'expression du torseur statique reste valable est que celle du torseur cinématique est exclusivement réservée à un système indéformable
nécessité pour que le champ des vitesses soit équiprojectif
;
s'il est licite de réduire l'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur un système déformable aux actions extérieures car la résultante et le moment résultant des actions intérieures sont nuls, dès qu'on envisage un mouvement accompagné d'une déformation, la puissance des actions intérieures n'étant plus nulle ne doit plus être omise, ceci se traduisant par le fait que les éléments de réduction du torseur cinématique écrits pour un solide sont insuffisants pour un système déformable car ils ne traduisent pas les mouvements relatifs internes