Probabilités sur les ensembles finis/Probabilités conditionnelles
Probabilité de A sachant B modifier
Soient A et B deux événements d'un espace probabilisé.
On définit la probabilité conditionnelle de A sachant B par :
.
- On lance un dé équilibré. On note B l'événement « obtenir un numéro pair » et A l'événement « obtenir 4 ».
- Calculer et interpréter ce calcul.
On a . De plus, 4 étant un nombre pair, il vient , donc .
Ceci peut se comprendre facilement : entre 1 et 6, il y a trois nombres pairs (2, 4, 6), chacun ayant une chance équivalente d’être tiré.
- On lance deux dés équilibrés et l'on calcule la somme des deux résultats.
- Calculer la probabilité d'obtenir 8 sachant qu'un dé au moins possède un résultat supérieur ou égal à 5.
Notons et les résultats des deux dés. On demande donc d'évaluer .
On a car les lancers sont indépendants.
Ensuite, pour le calcul de , ce résultat n'apparait que pour 4 couples ((2, 6), (3, 5), (5, 3) et (6, 2)), donc .
Finalement, la probabilité recherchée est de .
Formule pratique modifier
Dans les problèmes, c’est souvent la probabilité conditionnelle qui est connue. On utilise alors :
Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E.
Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L. Donner les probabilités suivantes :
- ;
- ;
- .
et donc .
Indépendance de deux événements modifier
Intuitivement, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.
La définition formelle est la suivante :
- Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E et 6 % ont L. Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L.
- Les événements « avoir E » et « avoir L » sont-ils indépendants ?
- On lance successivement deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
- Les événements « obtenir 8 » et « obtenir 5 avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
- Les événements « obtenir 8 » et « obtenir un numéro pair avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
Dans ces trois cas, les deux événements sont dépendants. En effet :
- (cf. exemple précédent) , tandis que , ou plus directement : tandis que .
- On peut obtenir 8 de 5 façons (équiprobables) : .
- , tandis que .
- , tandis que .