Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1

Exercice 1-1

Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :

• $\sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}$

Solution

On peut utiliser le critère de d'Alembert. Soit $a_{n}=\ln n$

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}\to 1=:\lambda$.

Le rayon de convergence est $R={\tfrac {1}{\lambda }}=1$.

 

• $\sum _{n\geq 1}{\frac {n^{n}}{n!}}x^{n}$

Solution

Soit $b_{n}={\frac {n^{n}}{n!}}$. D'Alembert : ${\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}={\frac {(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}\times {\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n^{n}}}=(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}\to \mathrm {e}$ donc $R={\frac {1}{\mathrm {e} }}$.

 

• $\sum _{n\geq 2}{\frac {n\ln n}{n^{2}+1}}x^{n}$

Solution

Soit $c_{n}={\frac {n\ln n}{n^{2}+1}}\sim {\frac {\ln n}{n}}$. D'Alembert : ${\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\sim {\frac {\ln(n+1)}{n+1}}\times {\frac {n}{\ln n}}\sim {\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}$ donc $R=1$, comme pour la première série entière $\sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}$ ci-dessus.

 

• $\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{2n}}{\binom {2n}{n}}}$

Solution

C'est bien une série entière de la forme $\sum _{n\geq 0}d_{n}x^{n}$ mais on ne peut donc pas appliquer directement la règle de d'Alembert ! Les rapports ${\tfrac {d_{2k}}{d_{2k-1}}}$ ne sont pas définis car $d_{2k-1}=0$. On considère donc la série entière de la variable y, $\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}y^{n}$, de la forme $\sum _{n\geq 0}b_{n}y^{n},b_{n}={\frac {1}{\binom {2n}{n}}}\neq 0.$

On peut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer son rayon de convergence.

${\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}={\frac {\binom {2n}{n}}{\binom {2(n+1)}{n+1}}}={\frac {(2n)!}{(2(n+1))!}}\times {\frac {((n+1)!)^{2}}{(n!)^{2}}}={\frac {(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}}\to {\frac {1}{4}}$

donc $\sum _{n\geq 0}b_{n}y^{n}$ a pour rayon de convergence 4.

• Si $|y|<4,\ \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}y^{n}$ converge absolument,
• si $|y|>4,\ \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}y^{n}$ diverge.

En posant $y=x^{2}$, on en déduit que

• si $|x^{2}|<4$ donc si $|x|<2,\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}x^{2n}$ converge absolument,
• si $|x|>2,\ \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}x^{2n}$ diverge.

D'où $R=2.$

 

• $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {5^{n}}{n^{3}+1}}x^{2n+1}$

Solution

Même obstacle et même stratégie que dans l'exemple précédent :

$\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {5^{n}}{n^{3}+1}}x^{2n+1}=x\sum _{n\geq 0}b_{n}y^{n}$ avec $y=x^{2}$ et $b_{n}=(-1)^{n}{\frac {5^{n}}{n^{3}+1}}$.

${\frac {|b_{n+1}|}{|b_{n}|}}\sim {\frac {5^{n+1}}{(n+1)^{3}}}\times {\frac {n^{3}}{5^{n}}}=5{\frac {n^{3}}{(n+1)^{3}}}\to 5$

donc le rayon de convergence de $\sum _{n\geq 0}b_{n}y^{n}$ est ${\frac {1}{5}}$ et celui de $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {5^{n}}{n^{3}+1}}x^{2n+1}$ est ${\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$.

 

• $\sum _{n\geq 0}\sin(\pi {\sqrt {n^{2}+1}})z^{n}$

Solution

$|f_{n}|=|\sin(\pi {\sqrt {n^{2}+1}})|=|\sin(n\pi {\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}})|=\sin(n\pi \left({\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}-1\right))\sim n\pi {\frac {1}{2n^{2}}}={\frac {\pi }{2n}}$ donc $\left|{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}\right|\to 1$ et donc $R=1$.

 

• $\sum _{n\geq 0}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {n}}}}\right)^{n}z^{n}$

Solution

Posons $g_{n}=\left({\frac {1}{1+{\sqrt {n}}}}\right)^{n}$.

$g_{n}^{1/n}={\frac {1}{1+{\sqrt {n}}}}\to 0^{+}=:\lambda$.

$R={\frac {1}{\lambda }}=+\infty$.

 

Exercice 1-2

Développer en série entière les fonctions suivantes et donner le rayon de convergence de la série obtenue :

• $f(x)={\frac {1+x}{(1-x)(2-x)}}$ ;
• $g(x)={\frac {1}{1+x+x^{2}+x^{3}}}$ ;
• $h(x)=\ln {\frac {2-3x}{2+3x}}$ ;
• $j(x)=\sin(x^{2}+1)$ ;
• $k(x)=\operatorname {e} ^{x\cosh a}\cosh(x\sinh a)$, où $a\in \mathbb {R}$.

Solution

• $f(x)={\frac {2}{1-x}}-{\frac {3}{2-x}}=2\sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}-{\frac {3}{2}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(2-{\frac {3}{2^{n+1}}}\right)x^{n}$ et $R=1$.
• $g(x)={\frac {1-x}{1-x^{4}}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }x^{4k}-\sum _{k\in \mathbb {N} }x^{4k+1}$ et $R=1$.
• $h(x)=\ln {\frac {1-3x/2}{1+3x/2}}=-\sum _{n\geq 1}{\frac {(3x/2)^{n}}{n}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-3x/2)^{n}}{n}}=-2\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(3x/2)^{2k+1}}{2k+1}}$ et $R={\frac {2}{3}}$.
• $j(x)=\sin 1\cos(x^{2})+\cos 1\sin(x^{2})=\sin 1\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}(x^{2})^{2n}}{(2n)!}}+\cos 1\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ et $R=+\infty$.
• $k(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {e} ^{x\operatorname {e} ^{a}}+\operatorname {e} ^{x\operatorname {e} ^{-a}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {x^{n}\cosh(na)}{n!}}$ et $R=+\infty$.