Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle

Exercice 6-1

1°  Déterminer les solutions, définies sur $\left]-1,1\right[$, de l'équation différentielle linéaire du premier ordre

$(1-x^{2})y'=xy+1$.

Solution

On résout d'abord l'équation homogène associée, $(1-x^{2})y'-xy=0$. Une primitive sur $\left]-1,1\right[$ de ${\frac {x}{1-x^{2}}}={\frac {-1}{2}}\times {\frac {-2x}{1-x^{2}}}$ est ${\frac {-1}{2}}\ln(1-x^{2})=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)$. Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto {\frac {C}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, avec $C\in \mathbb {R}$.

On applique ensuite la méthode de variation de la constante. Une fonction $y:\left]-1,1\right[\to \mathbb {R}$, que l'on peut toujours mettre sous la forme $y(x)={\frac {C(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, vérifie $(1-x^{2})y'=xy+1$ si et seulement si la fonction auxiliaire $C$ vérifie $(1-x^{2}){\frac {C'(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1$, c'est-à-dire si $C$ est une primitive de ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin 'x$.

Les solutions sur $\left]-1,1\right[$ de $(1-x^{2})y'=xy+1$ sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto {\frac {C+\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, avec $C\in \mathbb {R}$.

 

2°  Montrer qu’il existe une série entière dont la somme $S(x)$ est nulle en $0$ et solution de cette équation différentielle. On précisera son rayon de convergence.

Solution

Soit $S(x)=\sum _{n\geq 1}a_{n}x^{n}$.

${\begin{aligned}(1-x^{2})S'(x)-xS(x)-1&=(1-x^{2})\sum _{n\geq 1}na_{n}x^{n-1}-x\sum _{n\geq 1}a_{n}x^{n}-1\\&=\sum _{n\geq 1}na_{n}x^{n-1}-\sum _{n\geq 1}(n+1)a_{n}x^{n+1}-1\\&=a_{1}-1+2a_{2}x+\sum _{n\geq 2}\left[(n+1)a_{n+1}-na_{n-1}\right]x^{n}\end{aligned}}$

donc $S$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

$a_{1}=1,\quad a_{2}=0\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2\quad a_{n+1}={\frac {n}{n+1}}a_{n-1}$,

c'est-à-dire (par récurrence) pour tout $n\in \mathbb {N}$, $a_{2n}=0$ et

$a_{2n+1}=b_{n}:={\frac {(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 2}{(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots 3}}={\frac {(2^{n}n!)^{2}}{(2n+1)!}}$.

$S(x)=x\sum b_{n}x^{2n}$.

Puisque ${\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}={\frac {a_{2n+1}}{a_{2n-1}}}={\frac {2n}{2n+1}}\to 1$, le rayon de convergence $R$ de $\sum b_{n}y^{n}$ est égal à $1$. Celui de $S$ est donc ${\sqrt {R}}=1$.

 

3°  En déduire que pour tout $x\in \left]-1,1\right[$,

$(\arcsin x)^{2}=\sum _{n\geq 0}b_{n}{\frac {x^{2n+2}}{n+1}}$ avec $b_{n}={\frac {(2^{n}n!)^{2}}{(2n+1)!}}$.

Solution

D'après les deux questions précédentes, pour tout $x\in \left]-1,1\right[$,

$\arcsin x\,\arcsin 'x={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\sum _{n\geq 0}b_{n}x^{2n+1}$

donc

$\left(\left(\arcsin x\right)^{2}\right)'=\sum _{n\geq 0}2b_{n}x^{2n+1}=\left(\sum _{n\geq 0}b_{n}{\frac {x^{2n+2}}{n+1}}\right)'$

donc (comme $(\arcsin 0)^{2}=0$)

$\left(\arcsin x\right)^{2}=\sum _{n\geq 0}b_{n}{\frac {x^{2n+2}}{n+1}}$.

 

Exercice 6-2

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $f(z):=\sum _{k\geq 1}{\frac {z^{k}}{k}}$ et montrer que $\forall z\in D(0,R)\quad f'(z)={\frac {1}{1-z}}$.
2. Calculer la dérivée (sur $D(0,R)$) de $g:z\mapsto (1-z)\exp \left(f(z)\right)$.
3. En déduire : $\forall z\in D(0,1)\quad \exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {z^{k}}{k}}\right)={\frac {1}{1-z}}$.

Solution

1. $f$ est la série entière primitive de $\sum _{n\geq 0}z^{n}={\frac {1}{1-z}}$, donc $R=1$ et $\forall z\in D(0,1)\quad f'(z)={\frac {1}{1-z}}$.
2. $g'(z)=\exp \left(f(z)\right)\times \left(-1+(1-z)f'(z)\right)=\exp \left(f(z)\right)\times 0=0$.
3. $\forall z\in D(0,1)\quad g(z)=g(0)=1$.

 

Exercice 6-3

On fixe $n\in \mathbb {N}$ et l'on considère, sur $\left]0,+\infty \right[$, l'équation différentielle linéaire du second ordre (homogène, à coefficients non constants) :

$x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-n^{2}\right)y=0$.

1. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions ?
2. Déterminer les séries formelles solutions de l'équation différentielle formelle associée, et en particulier celle, notée $J_{n}$, telle que $J_{n}^{(n)}(0)=2^{-n}$.
3. Quel est le rayon de convergence de la série entière $J_{n}$ ?

Solution

1. L'ensemble des solutions est un plan vectoriel.
2. $F(X)=\sum _{p\geq 0}a_{p}X^{p}$ est solution si et seulement si

   $X^{2}\sum _{p\geq 0}p(p-1)a_{p}X^{p-2}+X\sum _{p\geq 0}pa_{p}X^{p-1}+\sum _{p\geq 2}a_{p-2}X^{p}-n^{2}\sum _{p\geq 0}a_{p}X^{p}=0$,

   c'est-à-dire

   $\sum _{p\geq 0}\left(p^{2}-n^{2}\right)a_{p}X^{p}+\sum _{p\geq 2}a_{p-2}X^{p}=0$,

   soit

   $-n^{2}a_{0}=0,\quad (1-n^{2})a_{1}=0\quad {\text{et}}\quad \forall p\geq 2\quad \left(p^{2}-n^{2}\right)a_{p}=-a_{p-2}$,

   ce qui (par récurrence) équivaut à

   $\forall p<n\quad a_{p}=0\quad {\text{et}}\quad \forall p>n\quad a_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}p-n{\text{ impair}}\\{\frac {(-1)^{(p-n)/2}}{\left(p^{2}-n^{2}\right)\left((p-2)^{2}-n^{2}\right)\dots \left((n+2)^{2}-n^{2}\right)}}a_{n}&{\text{si }}p-n{\text{ pair}}\end{cases}}$.

   donc à

   ${\begin{aligned}F(X)&=a_{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{\left((n+2k)^{2}-n^{2}\right)\left((n+2k-2)^{2}-n^{2}\right)\dots \left((n+2)^{2}-n^{2}\right)}}X^{n+2k}\\&=a_{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{\left(4k(n+k)\right)\left(4(k-1)(n+k-1)\right)\dots \left(4(n+1)\right)}}X^{n+2k}\\&=a_{n}2^{n}n!\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {X}{2}}\right)^{n+2k}.\end{aligned}}$

   On a alors $F^{(n)}(0)=a_{n}n!$, donc

   $J_{n}(X)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {X}{2}}\right)^{n+2k}$.

3. Le rayon de convergence de $J_{n}$ est, comme celui de $\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}Y^{k}$, infini d'après le critère de D'Alembert, car ${\frac {1}{k(n+k)}}\to 0$.