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Théorème de l'angle inscrit : Angle inscrit et angle au centre Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Théorème de l'angle au centre
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Fig. 1 : angles inscrits aigus AMB = ANB et angle au centre saillant AOB. Fig. 2 : angle inscrit obtus AMB et angle au centre rentrant AOB. Début d’un théorème
Théorème
La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Fin du théorème
Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit est aigu , donc l'angle au centre saillant (Fig. 1), l'autre où l'angle inscrit est obtus , donc l'angle au centre rentrant (Fig. 2).
On adopte les notations suivantes :
C est un cercle de centre O, passant par deux points A et B, donc découpé en deux arcs
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\displaystyle \frown }{AB}}}
M est un point de C, distinct de A et B, qui détermine donc un angle inscrit , noté
A
M
B
^
{\displaystyle {\widehat {AMB}}}
l'angle au centre qui intercepte le même arc
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\displaystyle \frown }{AB}}}
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
Il s'agit alors de démontrer que
A
O
B
^
=
2
A
M
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}=2{\widehat {AMB}}}
Fig. 3 : les trois cas (a), (b) et (c). Notons D le point de C diamétralement opposé à M et considérons trois cas, correspondant aux trois figures ci-contre :
(a) D est égal à A ou B, par exemple à B ;
(b) les cordes MA et MB sont de part et d’autre du diamètre MD ;
(c) MA et MB sont du même côté de MD. Montrons que
A
O
D
^
=
2
A
M
D
^
{\displaystyle {\widehat {AOD}}=2{\widehat {AMD}}}
M
O
A
^
+
A
O
D
^
=
180
∘
{\displaystyle {\widehat {MOA}}+{\widehat {AOD}}=180^{\circ }}
A
M
O
^
=
A
M
D
^
{\displaystyle {\widehat {AMO}}={\widehat {AMD}}}
M
O
A
^
+
2
A
M
O
^
=
180
∘
{\displaystyle {\widehat {MOA}}+2{\widehat {AMO}}=180^{\circ }}
donc
A
O
D
^
=
180
∘
−
M
O
A
^
=
2
A
M
O
^
=
2
A
M
D
^
{\displaystyle {\widehat {AOD}}=180^{\circ }-{\widehat {MOA}}=2{\widehat {AMO}}=2{\widehat {AMD}}}
D'après le cas (a),
A
O
D
^
=
2
A
M
D
^
{\displaystyle {\widehat {AOD}}=2{\widehat {AMD}}}
D
O
B
^
=
2
D
M
B
^
{\displaystyle {\widehat {DOB}}=2{\widehat {DMB}}}
A
O
B
^
=
2
A
M
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}=2{\widehat {AMB}}}
Même raisonnement que dans le cas (b), en remplaçant « somme » par « différence ».
Théorème de l'angle inscrit
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Fig. 4 : angles inscrits aigus AMB = ANB. Fig. 5 : angles inscrits obtus AMB = ANB. Le théorème de l'angle au centre a pour corollaire immédiat celui de l'angle inscrit :
Corollaire
Deux angles inscrits dans un cercle et interceptant le même arc ont même mesure.
Démonstration
A
M
B
^
=
1
2
A
O
B
^
=
A
N
B
^
{\displaystyle {\widehat {AMB}}={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB}}={\widehat {ANB}}}
Fig. 1 ).
