Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

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Dans ce chapitre et le suivant, on va donner les premiers éléments sur les caractères des représentations complexes des groupes finis. On se contentera d'un exposé vraiment minimal, limité à peu près à ce qui sera nécessaire pour donner, dans un troisième chapitre, la démonstration originale du théorème p-q de Burnside (selon lequel tout groupe fini dont l'ordre a au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble). Dans un quatrième chapitre, on déterminera les caractères irréductibles de quelques groupes finis. Le lecteur intéressé par ce dernier point pourra omettre le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.

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Rappels sur les nombres algébriques

Rappelons quelques notions sur les nombres algébriques qui seront utilisées dans ce chapitre et les suivants.

1° Un nombre complexe est appelé un nombre algébrique sur $\mathbb {Q}$, ou, plus couramment, un nombre algébrique (tout court), s'il est racine d'un polynôme non nul d'une variable à coefficients dans le corps $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels. Un tel polynôme est évidemment non constant.
Tout nombre rationnel est un nombre algébrique (puisqu'un nombre rationnel a est racine du polynôme X - a).
2° Un nombre complexe est appelé un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme monique d'une variable à coefficients dans l'anneau $\mathbb {Z}$ des entiers rationnels. (Un polynôme d'une variable est dit monique s'il est non nul et que son coefficient dominant, c'est-à-dire le coefficient de son terme non nul de plus grand degré, est égal à 1.)
Tout entier rationnel est un entier algébrique (puisqu'un entier rationnel a est racine du polynôme X - a).
Tout entier algébrique est évidemment un nombre algébrique.
3° Un nombre complexe $\lambda$ est un entier algébrique si et seulement le sous-anneau $\mathbb {Z} [\lambda ]$ de $\mathbb {C}$ engendré par $\lambda$ est un sous-$\mathbb {Z}$-module de type fini de $\mathbb {C}$, autrement dit un sous-groupe de type fini du groupe additif $\mathbb {C}$, + des nombres complexes.
4° Dans 3°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter que si B désigne le sous-anneau de $\mathbb {C}$ engendré par $\lambda$, si $B_{0}$ désigne le sous-pseudo-anneau de $\mathbb {C}$ engendré par $\lambda$, alors $B=B_{0}+\mathbb {Z}$ et $B_{0}=\lambda B$, donc B est un $\mathbb {Z}$-module de type fini si et seulement si $B_{0}$ en est un.)
5° Un nombre complexe est un entier algébrique si et seulement s'il appartient à un sous-anneau de $\mathbb {C}$ qui est un $\mathbb {Z}$-module de type fini.
6° Dans 5°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter qu'un sous-anneau est un sous-pseudo-anneau et que si P est un sous-pseudo-anneau, $P+\mathbb {Z}$ est un sous-anneau.)
7° Les nombres algébriques forment un sous-corps de $\mathbb {C}$ et les entiers algébriques forment un sous-anneau de $\mathbb {C}$.
L'anneau des entiers algébriques est donc un sous-anneau du corps des nombres algébriques.
8° Tout nombre rationnel qui est entier algébrique est un entier rationnel. (Cela revient à dire que l'anneau $\mathbb {Z}$ est intégralement clos.)
9° (Ce point 9° ne sera pas utilisé avant le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.) Si un corps commutatif E admet un corps (commutatif) F comme sous-corps, on dit que E est une extension de F. (Il existe une définition un peu plus générale d'une extension d'un corps commutatif, mais nous n'en aurons pas besoin.) Alors E, muni de son addition et de la loi externe $F\times E\rightarrow E:(f,e)\mapsto fe$ est un F-espace vectoriel. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension E de F, ou encore le degré de E sur F.
Si tout élément de E est algébrique sur F (avec une définition d'un élément algébrique sur F qui généralise de façon évidente la définition d'un nombre complexe algébrique sur $\mathbb {Q}$ donnée au point 1°), on dit que E est une extension algébrique de F, ou encore que E est algébrique sur F. Toute extension de degré fini d'un corps commutatif F est algébrique sur F.
Tout sous-corps de $\mathbb {C}$ est une extension de $\mathbb {Q}$. Le sous-corps de $\mathbb {C}$ engendré par une famille finie de nombres algébriques (sur $\mathbb {Q}$) est une extension de degré fini de $\mathbb {Q}$ et donc, d'après ce qui précède, une extension algébrique de $\mathbb {Q}$.
Si un sous-corps K de $\mathbb {C}$ est une extension de degré fini d de $\mathbb {Q}$, il existe exactement d homomorphismes de corps de K dans $\mathbb {C}$ (parmi lesquels l'homomorphisme qui envoie chaque élément de K sur lui-même). Ces homomorphismes, comme tout homomorphisme de corps, sont injectifs. On les appelle (abusivement) les isomorphismes de K dans $\mathbb {C} .$
Les d isomorphismes de K dans $\mathbb {C}$ coïncident avec l'identité en tout point de $\mathbb {Q} .$ On en tire facilement que l'image d'un nombre algébrique (resp. d'un entier algébrique) par un tel isomorphisme est un nombre algébrique (resp. un entier algébrique).
Notons $\sigma _{1},\ldots \sigma _{d}$ les isomorphismes de K dans $\mathbb {C} .$ Pour tout élément $\alpha$ de K, $\prod _{i=1}^{d}\sigma _{i}(\alpha )$ est un élément de $\mathbb {Q}$ et si $\alpha$ est un entier algébrique, $\prod _{i=1}^{d}\sigma _{i}(\alpha )$ est un élément de $\mathbb {Z} .$ L'élément $\prod _{i=1}^{d}\sigma _{i}(\alpha )$ de $\mathbb {Q}$ est appelé la norme de $\alpha$ (dans l'extension K de $\mathbb {Q}$) et noté $N_{\mathbb {Q} }^{K}(\alpha ).$ Il est clair qu'un élément $\alpha$ de K est nul si et seulement $N_{\mathbb {Q} }^{K}(\alpha )$ est nul.

Seuls les points 5°, 7°, 8° et 9° ne sont pas immédiats. On trouve leur démonstration dans des ouvrages classiques d'algèbre.

Caractère d'une représentation

Définition. Caractère d'une $\mathbb {C}$-représentation.

Soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle d'un groupe fini G ; notons V l'espace de cette représentation. Le caractère de T est par définition l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui à l'élément g de G fait correspondre la trace Tr(T(g)) de l'automorphisme T(g) de V.

Le caractère de T est donc l'application composée $\mathrm {Tr} \circ T$, où Tr désigne l'application trace : $f\mapsto \operatorname {Tr} (f)$ de End(V) dans $\mathbb {C}$.

De même, si U est une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, on définit le caractère de U comme l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui à l'élément g de G fait correspondre la trace Tr(U(g)) de la matrice U(g).

Les caractères de $\mathbb {C}$-représentations de G sont donc des éléments du $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}$ (que nous notons aussi $\mathbb {C} [G]$, surtout quand nous tenons compte de sa structure d'algèbre). Quand on parlera de la somme de deux ou plusieurs de ces caractères, il s'agira de leur somme dans cet espace vectoriel, c'est-à-dire de leur somme « point par point ». De même, quand on parlera du produit d'un de ces caractères par un nombre complexe, il s'agira de la loi externe du $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}$.

Début d’un théorème

Théorème 1. (Énoncé provisoire.)

Soient G un groupe fini, T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, U une représentation matricielle de G. On suppose que T et U se correspondent. Alors le caractère de T et le caractère de U sont la même application de G dans $\mathbb {C}$.

Fin du théorème

Démonstration. Notons $\chi _{T}$ le caractère de T, $\chi _{U}$ le caractère de U, et V l'espace de la représentation vectorielle T.

Puisque T et U se correspondent, il existe une base numérotée B de V telle que, pour tout g dans G, U(g) soit la matrice de l'automorphisme T(g) de V dans la base B. On sait que si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, si M désigne la matrice de f dans une base de cet espace, alors Tr(M) = Tr(f). Donc, pour tout g dans G, Tr(U(g)) = Tr(T(g)), c'est-à-dire $\chi _{U}(g)=\chi _{T}(g),$ ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. On verra plus loin (théorème 23) que le théorème 1 peut être renforcé comme suit : une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G se correspondent si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 1 d'énoncé provisoire.

Début d’un théorème

Théorème 2. (Énoncé provisoire.)

Soit G un groupe fini. Si deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles (resp. matricielles) sont équivalentes, elles ont le même caractère.

Fin du théorème

Démonstration. Commençons par les représentations matricielles. Soient $U_{1}$ et $U_{2}$ deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles équivalentes de G, soit d leur degré. Puisque $U_{1}$ et $U_{2}$ sont supposées équivalentes, il existe dans $GL(d\mathbb {C} )$ une matrice M telle que, pour tout g dans G,

(1) $\qquad U_{2}(g)=MU_{1}(g)M^{-1}$.

On sait que deux matrices semblables ont même trace, donc (1) donne $\operatorname {Tr} (U_{1}(g))=\operatorname {Tr} (U_{2}(g))$ pour tout g dans G, c'est-à-dire que $U_{1}$ et $U_{2}$ ont le même caractère.

L'énoncé est donc démontré pour les représentations matricielles. Pour démontrer le cas vectoriel, on pourrait imiter la démonstration du cas matriciel en utilisant cet analogue vectoriel de (2) :

si $V_{1}$ et $V_{2}$ sont deux $\mathbb {C}$-espaces vectoriels de même dimension finie, si $\sigma$ est un isomorphisme de $V_{1}$ sur $V_{2}$, si u est un endomorphisme de $V_{1}$, alors

$\operatorname {Tr} (\sigma \circ u\circ \sigma ^{-1})=\operatorname {Tr} (u)$.

On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel de la façon suivante. Soient $T_{1}$ et $T_{2}$ deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles équivalentes de G. ($T_{1}$ et $T_{2}$ n'ont pas forcément le même espace.) Choisissons deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles $U_{1}$ et $U_{2}$ correspondant respectivement à $T_{1}$ et $T_{2}$. Puisque $T_{1}$ et $T_{2}$ sont supposées équivalentes, il résulte d'un énoncé du chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1 que $U_{1}$ et $U_{2}$ sont équivalentes, donc, d'après la première partie de la démonstration, $U_{1}$ et $U_{2}$ ont le même caractère. Mais d'après le théorème 1, le caractère de $U_{1}$ est le caractère de $T_{1}$ et le caractère de $U_{2}$ est le caractère de $T_{2}$, donc $T_{1}$ et $T_{2}$ ont le même caractère.

Remarque. On démontrera plus loin (théorème 23) que le théorème 2 peut être renforcé comme suit : deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles (resp. matricielles) de G sont équivalentes si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 2 d'énoncé provisoire.

Début d’un théorème

Théorème 3.

Soit G un groupe fini, soient $U_{1},\ldots ,U_{n}$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G. Si pour tout j, $\chi _{j}$ désigne le caractère de $U_{j},$ le caractère de $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$ est

$\chi _{1}+\cdots +\chi _{n}$

(où l'addition des caractères est l'addition point par point).

Fin du théorème

Démonstration. Notons U la somme directe $U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}$ et notons $\chi$ son caractère. Alors, pour tout élément g de G,

$\chi (g)=\operatorname {Tr} (U(g))$.

Par définition de la somme directe d'un multiplet de $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G, cela s'écrit

(1) $\qquad \chi (g)=\operatorname {Tr} (U_{1}(g)\oplus \cdots \oplus U_{n}(g))$.

On a noté (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1) que la trace de la somme directe d'un multiplet de matrices carrées est la somme des traces de ces matrices, donc (1) peut s'écrire

$\chi (g)=\operatorname {Tr} (U_{1}(g))+\cdots +\operatorname {Tr} (U_{n}(g)$

autrement dit

$\chi (g)=\chi _{1}(g)+\cdots +\chi _{n}(g)$,

ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème

Théorème 4. (Forme vectorielle du théorème 3)

Soit G un groupe fini, soient $T_{1},\ldots ,T_{n}$ des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles de G. On pose

$T=\bigoplus \limits _{i\in I}T_{i}$,

on désigne par $\chi _{T}$ le caractère de T et, pour tout j, par $\chi _{T_{j}}$ le caractère de $T_{j}.$ Alors

$\chi _{T}=\chi _{T_{1}}+\cdots +\chi _{T_{n}}$.

Fin du théorème

Démonstration. Pour chaque j dans {1, ... , n}, choisissons une représentation matricielle $U_{j}$ correspondant à $T_{j}$ (via une base numérotée de $T_{j}$).

Si nous posons

$U=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{n}$,

la représentation matricielle U correspond à la représentation vectorielle T (voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1).

D'autre part, d'après le théorème 3,

(1) $\qquad \chi _{U}=\chi _{U_{1}}+\cdots +\chi _{U_{n}}$,

où $\chi _{U}$ désigne le caractère de U et où, pour tout j, $\chi _{U_{j}}$ désigne le caractère de $U_{j}$.

Puisque U correspond à T et que, pour chaque j, $U_{j}$ correspond à $T_{j}$, nous avons, d'après le théorème 1,

$\chi _{U}=\chi _{T}$ et, pour chaque j, $\chi _{U_{j}}=\chi _{T_{j}}$

donc (1) peut s'écrire

$\chi _{T}=\chi _{T_{1}}+\cdots +\chi _{T_{n}}$,

ce qui démontre l'énoncé.

Caractères complexes d'un groupe fini

Soit G un groupe fini, soit $\chi$ une application de G dans $\mathbb {C}$. D'après le théorème 1, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dont $\chi$ est le caractère ;
2. il existe une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G dont $\chi$ est le caractère.

Définition. Caractères complexes d'un groupe fini.

Soit G un groupe fini. Une application $\chi$ de G dans $\mathbb {C}$ est appelée un caractère complexe de G, ou encore un $\mathbb {C}$-caractère de G, si les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :

1. il existe une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dont $\chi$ est le caractère ;
2. il existe une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G dont $\chi$ est le caractère.

Remarque. Dans d'autres contextes, l'expression « caractère d'un groupe » est souvent employée dans le sens d'homomorphisme de ce groupe dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes. Nous ne donnerons jamais cette signification au mot « caractère ». On verra dans la suite qu'un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes peut être assimilé à un cas particulier de ce que nous appelons caractère complexe de G.

Exemples (triviaux) de caractères d'un groupe fini.

1° L'application constante nulle d'un groupe fini G dans $\mathbb {C}$ est un $\mathbb {C}$-caractère de G, car c'est le caractère de l'unique $\mathbb {C}$-représentation matricielle de degré 0 de G. Nous dirons que l'application constante nulle de G dans $\mathbb {C}$ est le caractère nul de G.

2° L'application constante de valeur 1 d'un groupe fini G dans $\mathbb {C}$ est un $\mathbb {C}$-caractère de G, car c'est le caractère de la $\mathbb {C}$-représentation matricielle constante

$G\to \operatorname {GL} (1,\mathbb {C} ):g\mapsto (1)$,

où (1) désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est 1.

3° Plus généralement, si f est un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif $\mathbb {C} ^{\times }$ du corps des nombres complexes, l'application $G\rightarrow \mathbb {C} :x\mapsto f(x)$ (application qui a le même graphe que f mais dont l'ensemble d'arrivée est $\mathbb {C}$ tout entier, alors que celui de f est $\mathbb {C} \setminus \{0\}$) est un $\mathbb {C}$-caractère de G. En effet, c'est le caractère de la $\mathbb {C}$-représentation matricielle

$G\to \operatorname {GL} (1,\mathbb {C} ):x\mapsto (f(x))$,

où $(f(x))$ désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est $f(x)$.

Début d’un théorème

Théorème 5.

Soient G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Toute $\mathbb {C}$-représentation, vectorielle ou matricielle, de G ayant $\chi$ pour caractère a pour degré $\chi (1)$.

Fin du théorème

Démonstration. Soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G ayant $\chi$ pour caractère. Alors $\chi (1)=\operatorname {Tr} (U(1)).$ Mais U(1) est la matrice unité $1_{d}$, où d désigne le degré de la représentation T, et la trace de cette matrice est égale à d, donc $\chi (1)=d=deg(T),$ ce qui démontre l'énoncé dans le cas matriciel. On démontre le cas vectoriel d'une façon analogue, ou on le déduit du cas matriciel en associant à une représentation vectorielle T une représentation matricielle U qui lui correspond et en notant que T et U ont alors le même degré et, d'après le théorème 1, le même caractère.

Début d’un théorème

Corollaire 6.

Soit G un groupe fini. Si deux $\mathbb {C}$-représentations de G (toutes deux vectorielles, toutes deux matricielles ou l'une vectorielle et l'autre matricielle) ont le même caractère, elles ont le même degré.

Fin du théorème

Remarque. On verra au théorème 23 que si deux $\mathbb {C}$-représentations de G, toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles, ont le même caractère, elles sont équivalentes et que si une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G ont le même caractère, elles se correspondent. C'est plus fort que le corollaire 6, puisque des représentations équivalentes ou se correspondant ont le même degré.

Définition. Degré d'un caractère.

Soit G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Le nombre naturel $\chi (1)$ est appelé le degré de $\chi$ et parfois noté deg($\chi$).

D'après le théorème 5, le degré de $\chi$ est aussi le degré de toute $\mathbb {C}$-représentation, vectorielle ou matricielle, de G ayant $\chi$ pour caractère.

Soit G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Puisqu'une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle et une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G qui se correspondent ont le même caractère (théorème 1) et sont ensemble irréductibles ou non (voir définition d'une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1), les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G ayant $\chi$ pour caractère;

2° il existe une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de G ayant $\chi$ pour caractère.

Définition. Caractères irréductibles d'un groupe.

Soit G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Nous dirons que $\chi$ est irréductible (comme $\mathbb {C}$-caractère de G) si les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :

1° il existe une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G ayant $\chi$ pour caractère;

2° il existe une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de G ayant $\chi$ pour caractère.

Remarque. On démontrera plus loin (théorème 24) qu'un $\mathbb {C}$-caractère $\chi$ de G est irréductible si et seulement toute $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle ou matricielle) de G ayant $\chi$ pour caractère est irréductible. En attendant, toutefois, nous devons nous en tenir à la définition.

Soient G un groupe fini et f une application de G dans $\mathbb {C}$. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° f est constante dans chaque classe de conjugaison d'éléments de G;

2° pour tous x, y dans G, f(xy) = f(yx).

En effet, xy et yx sont conjugués (puisque $yx=x^{-1}(xy)x$) donc 1° entraîne 2° et, d'autre part, si $g$ et $hgh^{-1}$ sont deux éléments conjugués dans G, alors $g=xy$ et $hgh^{-1}=yx$ avec $x=gh^{-1}$ et $y=h$, donc 2° entraîne 1°.

Définition. Applications centrales.

Soit G un groupe fini. Une application f de G dans $\mathbb {C}$ est appelée une application centrale (de G dans $\mathbb {C}$) si les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :

1° f est constante dans chaque classe de conjugaison d'éléments de G ;

2° pour tous x, y dans G, f(xy) = f(yx).

Notation

G étant un groupe fini, $f$ une application centrale sur G et K une classe de conjugaison de G, nous noterons (abusivement) $f(K)$ la valeur prise par $f$ en tout élément de K.

Remarque

L'espace $\mathbb {C} ^{G}$ des applications de G dans $\mathbb {C}$ est l'espace vectoriel sous-jacent à l'algèbre $\mathbb {C} [G]$ (définie dans Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 1#Exemples de représentations, exemple 4), et

les applications centrales de G dans $\mathbb {C}$ sont les éléments du centre de l'anneau $\mathbb {C} [G]$.

En effet, $f$ appartient à ce centre si et seulement si pour tout $x\in G$, $\quad x\left(\sum _{g\in G}f(g)g\right)x^{-1}=\sum _{g\in G}f(g)g$, or $x\left(\sum _{g\in G}f(g)g\right)x^{-1}=\sum _{g\in G}f(g)(xgx^{-1})=\sum _{h\in G}f(x^{-1}hx)h$.

Début d’un théorème

Théorème 7.

Soit G un groupe fini. Tout $\mathbb {C}$-caractère de G est une application centrale.

Fin du théorème

Démonstration. Soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Il s'agit de prouver que pour tous éléments g et h de G,

thèse (1)$\qquad \chi (hgh^{-1})=\chi (g)$.

Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation matricielle U de G ayant $\chi$ pour caractère. Alors

$\chi (hgh^{-1})=\operatorname {Tr} (U(hgh^{-1}))$.

Puisque U est un homomorphisme de groupes, cela peut s'écrire

(2) $\qquad \chi (hgh^{-1})=\operatorname {Tr} (U(h)U(g)U(h)^{-1})$.

D'après le théorème 2), pour $h$ fixé, la représentation matricielle $g\mapsto U(h)U(g)U(h)^{-1}$ a même caractère que $U$, donc (2) peut s'écrire

$\qquad \chi (hgh^{-1})=\chi (g)$,

ce qui est notre thèse (1).

Début d’un théorème

Théorème 8.

Soit G un groupe fini. Tout $\mathbb {C}$-caractère de G est somme d'une famille finie de caractères irréductibles de G.

Fin du théorème

Démonstration. Soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation, par exemple vectorielle, de G ayant $\chi$ pour caractère.

D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, il existe un multiplet $T_{1},\ldots ,T_{n}$ de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G telle que T soit équivalente à $\bigoplus \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$.

Pour chaque i dans {1, ... , n}, notons $\chi _{i}$ le caractère de $T_{i}$.

D'après le théorème 2, le caractère de T, c'est-à-dire $\chi$, est égal au caractère de $\bigoplus \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}T_{i}$, qui, d'après le théorème 4, est égal à $\chi _{1}+\cdots +\chi _{n}$.

Donc

$\chi =\chi _{1}+\cdots +\chi _{n}$.

Puisque les représentations $T_{1}\ldots ,T_{n}$ sont irréductibles, les caractères $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}$ sont irréductibles, d'où l'énoncé.

Début d’un théorème

Théorème 9.

Soit G un groupe fini d'ordre n, soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de degré d de G.

(i) Pour tout g dans G, $\chi (g)$ est la somme d'une famille de d racines n-ièmes de l'unité

(d'où $|\chi (g|\leq d=\chi (1)$).

(ii) Plus précisément, si r désigne l'ordre de g dans G, $\chi (g)$ est la somme d'une famille de d racines r-ièmes de l'unité.

(iii) Pour tout g dans G,

$\chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}}$,

où la barre supérieure désigne le nombre complexe conjugué.

Fin du théorème

Démonstration. Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation, par exemple vectorielle, T de G ayant $\chi$ pour caractère. Notons V l'espace de T.

Soit g un élément de G, soit r l'ordre de g dans G.

Puisque $g^{r}=1$ et que T est un homomorphisme de groupes de G dans GL(V), nous avons $T(g)^{r}=1$, donc l'endomorphisme T(g) de V est racine du polynôme $X^{n}-1$, donc le polynôme caractéristique de l'endomorphisme T(g) de V est de la forme

$(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{d})$,

où $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ sont des racines r-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$. On a alors

$\operatorname {Tr} (T(g))=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}$,

autrement dit

(1) $\qquad \chi (g)=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}$.

Puisque l'ordre r de g divise l'ordre n de G, $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$, qui sont des racines r-ièmes de l'unité, sont des racines n-ièmes de l'unité. Nous avons donc démontré les assertions (i) et (ii) de l'énoncé.

L'endomorphisme $T(g^{-1})$ est l'inverse de l'endomorphisme T(g), donc

(2) $\qquad \operatorname {Tr} (T(g^{-1}))=\lambda _{1}^{-1}+\cdots +\lambda _{d}^{-1}$.

Toute racine de l'unité est un nombre complexe de valeur absolue 1, donc $\lambda _{j}^{-1}={\overline {\lambda _{j}}}$ pour chaque j, donc (2) peut s'écrire

$\operatorname {Tr} (T(g^{-1}))={\overline {\lambda _{1}}}+\cdots +{\overline {\lambda _{d}}}$,

autrement dit

$\chi (g^{-1})={\overline {\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}}}$,

c'est-à-dire, d'après (1),

$\chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}}$,

ce qui est l'assertion (ii) de l'énoncé.

Pour tout nombre naturel n non nul, les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ sont des entiers algébriques (puisqu'elles sont racines du polynôme $X^{n}-1$). Le plus petit sous-corps de $\mathbb {C}$ comprenant les racines n-ièmes de l'unité est appelé le n-ième corps cyclotomique. Le théorème 9 a pour conséquence immédiate le

Début d’un théorème

Corollaire 10.

Les valeurs d'un $\mathbb {C}$-caractère d'un groupe fini G sont des entiers algébriques. De plus, elles appartiennent au n-ième corps cyclotomique où n est l'ordre de G, et même au r-ième corps cyclotomique où r est l'exposant de G.

Fin du théorème

Les caractères irréductibles dans l'espace des fonctions centrales

Notations

Soit G un groupe fini. Pour des applications $\varphi$ et $\psi$ de G dans $\mathbb {C}$, nous poserons

$(\varphi \vert \psi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\varphi (g)\psi (g^{-1}).$

Pour une application f de G dans $\mathbb {C}$, nous noterons ${\check {f}}$ l'application $g\mapsto f(g^{-1})$ de G dans $\mathbb {C}$. On a évidemment ${\check {\check {f}}}=f.$

Début d’un théorème

Théorème 11

Soit G un groupe fini. L'application

$(\varphi ,\psi )\mapsto (\varphi \vert \psi )$

de $\mathbb {C} ^{G}\times \mathbb {C} ^{G}$ dans $\mathbb {C}$ est une forme bilinéaire symétrique sur le $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}.$
On a toujours $({\check {\varphi }}\vert {\check {\psi }})=(\varphi \vert \psi ).$

Fin du théorème

Démonstration. La bilinéarité est évidente.
D'autre part,

$({\check {\varphi }}\vert {\check {\psi }})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}{\check {\varphi }}(g){\check {\psi }}(g^{-1}),$

autrement dit

(1) $\qquad ({\check {\varphi }}\vert {\check {\psi }})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\varphi (g^{-1})\psi (g).$

Comme $g\mapsto g^{-1}$ définit une permutation de G, cela peut s'écrire

$\qquad ({\check {\varphi }}\vert {\check {\psi }})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\varphi (g)\psi (g^{-1})$

(2) $\qquad ({\check {\varphi }}\vert {\check {\psi }})=(\varphi \vert \psi ),$

ce qui démontre la dernière assertion de l'énoncé. En portant (2) dans (1), nous trouvons

$(\varphi \vert \psi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\varphi (g^{-1})\psi (g)$

$(\varphi \vert \psi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\psi (g)\varphi (g^{-1})$

$(\varphi \vert \psi )=(\psi \vert \varphi ),$

ce qui prouve que la forme bilinéaire $(\varphi ,\psi )\mapsto (\varphi \vert \psi )$ est symétrique.

Il nous arrivera de noter $(\vert )$ cette forme bilinéaire.

Nous dirons que deux applications $\varphi ,\psi$ de G dans $\mathbb {C}$ sont orthogonales si $(\varphi \vert \psi )=0$, ce qui revient à $(\psi \vert \varphi )=0.$
Nous dirons qu'un r-uplet $f_{1},\ldots ,f_{r}$ d'applications de G dans $\mathbb {C}$ est orthonormal, ou encore est un système orthonormal, si, pour tous i, j dans {1, ... , r}, $(f_{i}\vert f_{j})=\delta _{i,j}$, symbole de Kronecker dans $\mathbb {C}$.

Les deux énoncés qui suivent ne seront pas utilisés dans la suite et pourraient être obtenus comme des conséquences (faibles) du corollaire 21, qui sera démontré plus loin. On ne les donne que pour habituer le lecteur à la manipulation de la forme bilinéaire $(\vert )$.

Début d’un théorème

Énoncé 12

Soit G un groupe fini, $\chi$ et $\psi$ des $\mathbb {C}$-caractères de G. Le nombre $(\chi \vert \psi )$ est réel.

Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

${\overline {(\chi \vert \psi )}}={\overline {\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi (g)\psi (g^{-1})}}$

(1) $\qquad {\overline {(\chi \vert \psi )}}=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi (g)}}{\overline {\psi (g^{-1})}}.$

Puisque $\chi$ et $\psi$ sont des $\mathbb {C}$-caractères de G, nous avons, d'après le théorème 9, ${\overline {\chi (g)}}=\chi (g^{-1})$ et $\psi (g^{-1})={\overline {\psi (g)}},$ donc (1) peut s'écrire

${\overline {(\chi \vert \psi )}}=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi (g^{-1})\psi (g)$

${\overline {(\chi \vert \psi )}}=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\psi (g)\chi (g^{-1})$

${\overline {(\chi \vert \psi )}}=(\psi \vert \chi )$

d'où, par symétrie de $(\vert )$ (théorème 11),

${\overline {(\chi \vert \psi )}}=(\chi \vert \psi ),$

ce qui prouve que $(\chi \vert \psi )$ est réel.

Début d’un théorème

Énoncé 13

Soient G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Alors $(\chi \vert \chi )$ est un nombre réel $\geq 0.$ Si $\chi$ n'est pas le caractère nul, alors $(\chi \vert \chi )>0.$

Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

$(\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi (g^{-1}),$

ce qui, d'après le théorème 9, peut s'écrire

(1) $\qquad (\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi (g){\overline {\chi (g)}}.$

Dans la somme du second membre, tous les termes sont des nombres réels $\geq 0$, donc

$\qquad (\chi \vert \chi )\geq 0.$

Si $\chi$ n'est pas le caractère nul, son degré, soit d, n'est pas nul. Puisque le terme correspondant à g = 1 dans la somme du second membre de (1) est égal à $d^{2}>0$, nous avons donc

$(\chi \vert \chi )\geq \vert G\vert ^{-1}d^{2}>0.$

Début d’un théorème

Théorème 14

Soit G un groupe fini.
(i) Soient T et U deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles (resp. deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles) irréductibles de G, non équivalentes; notons $\chi _{T}$ et $\chi _{U}$ leurs caractères respectifs. Alors

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=0.$

(ii) Soit $\chi$ un caractère irréductible de G. Alors

$(\chi \vert \chi )=1.$

Fin du théorème

Démonstration. Prouvons le point (i).
Si T et U sont vectorielles et qu'on choisit des représentations matricielles T' et U' correspondant respectivement à T et à U, alors T' et U' sont irréductibles et non équivalentes (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1); de plus, le caractère $\chi _{T}$ de T est égal au caractère $\chi _{T'}$ de T' et le caractère $\chi _{U}$ de U est égal au caractère $\chi _{U'}$ de U' (théorème 1). Cela montre que pour prouver le point (i), nous pouvons nous limiter au cas où T et U sont matricielles, ce que nous ferons.
Soient m et n les degrés respectifs de T et de U.
Pour tous i, j dans {1, ... , m}, désignons par $t_{i,j}$ l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui applique l'élément g de G sur le (i, j)-ième coefficient de la matrice T(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

$T(g)=(t_{i,j}(g))_{1\leq i,j\leq m}.$

De même, pour tous r,sj dans {1, ... , n}, désignons par $u_{r,s}$ l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui applique l'élément g de G sur le (r, s)-ième coefficient de la matrice U(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

$U(g)=(u_{r,s}(g))_{1\leq r,s\leq n}.$

Nous avons

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi _{T}(g)\chi _{U}(g^{-1})$

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}Tr(T(g))Tr(U(g^{-1}))$

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}(\sum _{i=1}^{m}t_{i,i}(g))(\sum _{r=1}^{n}u_{r,r}(g^{-1}))$

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\sum _{i,r}t_{i,i}(g)u_{r,r}(g^{-1})$

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{i,r}\sum _{g\in G}t_{i,i}(g)u_{r,r}(g^{-1}).$

Puisque T et U sont irréductibles et non équivalentes, il résulte d'un théorème de Schur démontré au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2 que chaque somme partielle $\sum _{g\in G}t_{i,i}(g)u_{r,r}(g^{-1})$ est nulle, donc

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=0,$

ce qui prouve le point (ii).
Démontrons maintenant le point (ii).
Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible T de G ayant $\chi$ pour caractère. Définissons m et $t_{i,j}$ comme dans la démonstration du point (i). Nous avons

$(\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi (g^{-1})$

$(\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}Tr(T(g))Tr(T(g^{-1}))$

$(\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}(\sum _{i=1}^{m}t_{i,i}(g))(\sum _{j=1}^{m}t_{j,j}(g^{-1}))$

$(\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\sum _{i,j}t_{i,i}(g)t_{j,j}(g^{-1})$

(1) $\qquad (\chi \vert \chi )=\vert G\vert ^{-1}\sum _{i,j}\sum _{g\in G}t_{i,i}(g)t_{j,j}(g^{-1}).$

D'après le théorème de Schur déjà utilisé dans la démonstration du point (i), la somme partielle

$\sum _{g\in G}t_{i,i}(g)t_{j,j}(g^{-1})$

est égale à

${\frac {\vert G\vert }{m}}\delta _{i,j}\delta _{i,j}={\frac {\vert G\vert }{m}}\delta _{i,j},$

donc (1) peut s'écrire

$(\chi \vert \chi )={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}1$

$(\chi \vert \chi )=1,$

ce qui démontre le point (ii).

Début d’un théorème

Corollaire 15 (Énoncé provisoire)

Soit G un groupe fini, soient T et U des $\mathbb {C}$-représentations irréductibles de G, toutes deux matricielles ou toutes deux vectorielles. Alors T et U ont le même caractère si et seulement si elles sont équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Désignons par $\chi _{T}$ et par $\chi _{U}$ les caractères de T et de U respectivement.
Nous savons déjà (théorème 2) que si T et U sont équivalentes, alors $\chi _{T}$ = $\chi _{U}$.
Réciproquement, supposons $\chi _{T}$ = $\chi _{U}$ et prouvons que T et U sont équivalentes.
D'après le point (ii) du théorème 14, l'hypothèse $\chi _{T}$ = $\chi _{U}$ entraîne

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})=1,$

$(\chi _{T}\vert \chi _{U})\not =0,$

donc, d'après le point (i) du théorème 14, T et U sont équivalentes.

Remarque. Nous démontrerons au théorème 23 que, dans le corollaire 15, l'hypothèse d'irréductibilité peut être levée.

Début d’un théorème

Corollaire 16

Soit G un groupe fini. L'ensemble des classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G est équipotent à l'ensemble des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. Ces deux ensembles sont finis.

Fin du théorème

Démonstration. Puisque deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles équivalentes de G ont le même caractère (théorème 2 ou corollaire 15), on peut définir correctement une application f de l'ensemble des classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G dans l'ensemble des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G de sorte que, pour toute $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible U de G, f applique la classe de U sur le caractère de U (ce caractère est irréductible par définition d'un caractère irréductible).
L'application f est surjective par définition des caractères irréductibles et est injective d'après le corollaire 15, donc c'est une bijection, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.
On a vu (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2) que les classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G sont en nombre fini; la seconde assertion de l'énoncé en résulte.

Remarque. On précisera plus loin (théorème 29) le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G.

Début d’un théorème

Théorème 17 (Première relation d'orthogonalité)

Soit G un groupe fini, soient $\chi$ et $\psi$ des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. Alors

$(\chi \vert \psi )=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\ \mathrm {si} \ \chi \not =\psi ,\\1\ \mathrm {si} \ \chi =\psi .\end{array}}\right.$

Cela revient à dire que si $K_{1},\ldots ,K_{h}$ est une énumération des classes de conjugaison de G, la somme

$\sum _{j=1}^{h}\vert K_{j}\vert \ \chi (K_{j})\ {\overline {\psi (K_{j})}}$

égale $\vert G\vert$ si $\chi$ et $\psi$ sont égaux et qu'elle est nulle dans le cas contraire.

Fin du théorème

Démonstration. Démontrons la première forme de l'énoncé. (C'est en fait une reformulation du théorème 14, avec cette différence qu'on fait maintenant abstraction des représentations qui permettent de définir les caractères.) Choisissons deux représentations irréductibles T et U de G, par exemple matricielles, ayant respectivement pour caractères $\chi$ et $\psi$.
Si $\chi \not =\psi ,$ alors T et U ne sont pas équivalentes (théorème 2 ou encore corollaire 15), donc, d'après le théorème 14, (i)

$(\chi \vert \psi )=0.$

Si maintenant $\chi =\psi ,$ alors, d'après le théorème 14, (ii),

$(\chi \vert \psi )=1.$

Nous avons donc démontré la première forme de l'énoncé. En revenant à la définition de la forme bilinéaire symétrique $(\vert )$, nous trouvons que la somme

$\sum _{g}\chi (g)\psi (g^{-1})$

égale $\vert G\vert$ si $\chi$ et $\psi$ sont égaux et qu'elle est nulle dans le cas contraire. D'après le théorème 9, la somme $\sum _{g}\chi (g)\psi (g^{-1})$ peut s'écrire

$\sum _{g}\chi (g){\overline {\psi (g)}}$.

Puisque les caractères sont des fonctions centrales, la seconde forme de l'énoncé en résulte.

Début d’un théorème

Théorème 18

Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{r}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G (en nombre fini d'après le corollaire 16). La famille $\chi _{1},\ldots ,\chi _{r}$ est linéairement indépendante dans le $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}.$

Fin du théorème

Démonstration. Soient $\alpha _{1},\ldots \alpha _{r}$ des scalaires (nombres complexes) tels que

(1)$\qquad \alpha _{1}\chi _{1}+\cdots +\alpha _{r}\chi _{r}=0.$

Soit j un des indices 1, ... , r; il s'agit de prouver que

(thèse 2)$\qquad \alpha _{j}=0.$

D'après (1), nous avons

$(\alpha _{1}\chi _{1}+\cdots +\alpha _{r}\chi _{r}\vert \chi _{j})=(0\vert \chi _{j})$

(3)$\qquad \alpha _{1}(\chi _{1}\vert \chi _{j})+\cdots +\alpha _{r}(\chi _{r}\vert \chi _{j})=0.$

D'après le théorème 17, $(\chi _{j}\vert \chi _{j})=1$ et $(\chi _{i}\vert \chi _{j})=0$ pour tout i distinct de j. Donc (3) peut s'écrire $\alpha _{j}=0,$ ce qui est notre thèse (2).

Début d’un théorème

Théorème 19. (Énoncé provisoire, qui sera précisé par le théorème 29.)

Soit G un groupe fini. Le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G est au plus égal au nombre des classes de conjugaison d'éléments de G.

Fin du théorème

Les fonctions centrales de G dans $\mathbb {C}$ forment un sous-$\mathbb {C}$ espace vectoriel de $\mathbb {C} ^{G}$ et on vérifie facilement que ce sous-espace est isomorphe à l'espace $\mathbb {C} ^{\mathrm {Cl} (G)}$, où $\mathrm {Cl} (G)$ désigne l'ensemble des classes de conjugaison d'éléments de G. Donc

(1) les fonctions centrales de G dans $\mathbb {C}$ forment un sous-$\mathbb {C}$-espace de dimension $\vert \mathrm {Cl} (G)\vert$ de $\mathbb {C} ^{G}.$

D'autre part, puisque, d'après le théorème 7, tout $\mathbb {C}$-caractère est une fonction centrale, il résulte du théorème 18 que les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G forment une partie linéairement indépendante du $\mathbb {C}$-espace des fonctions centrales de G dans $\mathbb {C}$.
De cela et de (1), il résulte que le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G est au plus égal à $\vert \mathrm {Cl} (G)\vert$, ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème

Théorème 20

Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, soit $\chi$ un caractère de G. Alors

$\chi =\sum _{i=1}^{k}(\chi \vert \chi _{i})\chi _{i}$

et les coefficients $(\chi \vert \chi _{i})$ sont des nombres naturels.

Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 8, il existe des nombres naturels $n_{1},\ldots ,n_{k}$ tels que

(1) $\qquad \chi =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\chi _{i}.$

Alors, pour tout j,

$(\chi \vert \chi _{j})=\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\chi _{i}\vert \chi _{j}).$

D'après le théorème 17, cela peut s'écrire

$(\chi \vert \chi _{j})=n_{j}.$

On peut donc remplacer dans (1) $n_{i}$ par $(\chi \vert \chi _{i}),$ ce qui démontre l'énoncé.

Définitions

Soient G un groupe fini, $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, $\chi$ un caractère de G.
Les $\chi _{i}$ pour lesquels $n_{i}>0$ dans la décomposition

$\chi =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\chi _{i},n_{i}\in \mathbb {N} ,$

autrement dit les $\chi _{i}$ tels que $(\chi \vert \chi _{i})>0,$ sont appelés les constituants de $\chi$. Le nombre naturel $n_{i}=(\chi \vert \chi _{i})$ est appelé la multiplicité de $\chi _{i}$ dans $\chi$.

Début d’un théorème

Corollaire 21

Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, soient $\chi =\sum _{i=1}^{k}m_{i}\chi _{i}$ et $\psi =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\psi _{i}$des caractères de G. Alors

$(\chi \vert \psi )=\sum _{i=1}^{k}m_{i}n_{i}.$

En particulier,

$(\chi \vert \chi )=\sum _{i=1}^{k}m_{i}^{2}.$

Le nombre $(\chi \vert \psi )$ est naturel. Le nombre naturel $(\chi \vert \chi )$ est > 0 si et seulement le caractère $\chi$ est distinct du caractère nul.

Fin du théorème

Démonstration. La thèse

$(\chi \vert \psi )=\sum _{i=1}^{k}m_{i}n_{i}$

et son cas particulier

$(\chi \vert \chi )=\sum _{i=1}^{k}m_{i}^{2}$

sont une conséquence immédiate de la bilinéarité de $(\vert )$ et du théorème 17.
D'après le théorème 20, les $m_{i}$ et les $n_{i}$ sont naturels, d'où la troisième assertion de l'énoncé. La relation $(\chi \vert \chi )=0$, autrement dit la relation $\sum _{i=1}^{k}m_{i}^{2}=0$, a lieu si et seulement si tous les $m_{i}$ sont nuls, ce qui, vu l'indépendance linéaire des $\chi _{i},$ a lieu si et seulement $\chi =0,$ d'où la dernière assertion de l'énoncé.

Remarque. Le corollaire 21 est évidemment plus précis que les énoncés 12 et 13.

Début d’un théorème

Théorème 22

Soit G un groupe fini, soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Alors $\chi$ est irréductible si et seulement si $(\chi \vert \chi )=1$.

Fin du théorème

Démonstration. Si $\chi$ est irréductible, alors $(\chi \vert \chi )=1$ d'après le théorème 14 (ou le théorème 17).
Réciproquement, supposons que $(\chi \vert \chi )=1$ et prouvons que $\chi$ est irréductible.
Soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. D'après le théorème 8 (ou encore le théorème 20), il existe des nombres naturels $n_{1},\ldots ,n_{k}$ tels que

(1) $\qquad \chi =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\chi _{i},$

d'où, d'après le corollaire 21,

$(\chi \vert \chi )=\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{2}.$

Puisque nous supposons $(\chi \vert \chi )=1$, nous avons donc

$\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{2}=1,$

ce qui n'est possible que si pour un i, $n_{i}=1$ et que pour tous les j distincts de i, $n_{j}=0.$
Alors (1) donne $\chi =\chi _{i},$ donc $\chi$ est irréductible.

Début d’un théorème

Théorème 23

a) Soient G un groupe fini et S, T deux $\mathbb {C}$-représentations (toutes deux matricielles ou toutes deux vectorielles) de G. S et T sont équivalentes si et seulement elles ont le même caractère.
b) Soient G un groupe fini, T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G. T et U se correspondent si et seulement elles ont le même caractère.

Fin du théorème

Démonstration. Démontrons le point a) dans le cas où les représentations S et T sont matricielles.
Désignons par $\chi _{S}$ le caractère de S et par $\chi _{T}$ le caractère de T.
Nous savons déjà, par le théorème 2, que si S et T sont équivalentes, alors $\chi _{S}=\chi _{T}$.
Réciproquement, supposons que

(1) $\qquad \chi _{S}=\chi _{T}$

et prouvons que S et T sont équivalentes.
Par exemple d'après le corollaire 16, nous pouvons choisir un système complet $U_{1},\ldots ,U_{r}$ de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles deux à deux non équivalentes de G, l'expression « système complet » signifiant que toute $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de G est équivalente à une (et une seule) des représentations $U_{1},\ldots ,U_{r}$.
Donc (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 17 et théorème 20), S est équivalente à une somme directe

$S_{1}\oplus \cdots \oplus S_{n},$

où chaque $S_{i}$ est une des représentations $U_{1},\ldots ,U_{r}$.
D'après l'associativité et la quasi-commutativité de la somme directe des $\mathbb {C}$-représentations matricielles (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncés 14 et 15), S est donc équivalente à une somme directe

(2) $\qquad m_{1}U_{1}\oplus \cdots \oplus m_{r}U_{r},$

où les $m_{i}$ sont des nombres naturels et où $m_{i}U_{i}$ désigne la somme directe de $m_{i}$ représentations égales à $U_{i}$.
De même, T est équivalente à une somme directe

(3) $\qquad n_{1}U_{1}\oplus \cdots \oplus n_{r}U_{r}$

pour certains nombres naturels $n_{1},\ldots ,n_{r}.$
Compte tenu des théorèmes 2 et 3, nos relations (2) et (3) donnent

$\chi _{S}=m_{1}\chi _{U_{1}}+\cdots +m_{r}\chi _{U_{r}}$

et

$\chi _{T}=n_{1}\chi _{U_{1}}+\cdots +n_{r}\chi _{U_{r}},$

où $\chi _{U_{1}}$ désigne le caractère de $U_{i}.$
Donc, d'après (1),

(4) $\qquad m_{1}\chi _{U_{1}}+\cdots +m_{r}\chi _{U_{r}}=n_{1}\chi _{U_{1}}+\cdots +n_{r}\chi _{U_{r}}.$

Puisque les représentations matricielles $U_{1},\ldots ,U_{r}$ sont irréductibles et deux à deux non équivalentes, il résulte du corollaire 15 que les caractères $\chi _{U_{1}},\ldots ,\chi _{U_{r}}$ sont deux à deux distincts, donc, d'après le théorème 18, ils sont linéairement indépendants.
La relation (4) donne donc $m_{1}=n_{1},\ldots m_{r}=n_{r}$, donc, d'après (2) et (3), S et T sont équivalentes.
On a donc démontré l'assertion a) de l'énoncé dans le cas où S et T sont matricielles. On pourrait démontrer de même le cas vectoriel à l'aide d'analogues vectoriels des théorèmes matriciels dont on s'est servi dans la démonstration du point a). On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel en utilisant le théorème 1 et le fait que si S et T sont des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles correspondant respectivement à des $\mathbb {C}$-représentations matricielles S' et T', alors S et T sont équivalentes si et seulement si S'et T' le sont. (Voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1.)

Démontrons maintenant le point b). D'après le théorème 1, il suffit de prouver que si T et U ont le même caractère, elles se correspondent. Notons V l'espace de la représentation T. Choisissons une base numérotée B de V et notons U' la $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G correspondant à T via la base B. Notons $\chi _{T}$ le caractère de T et $\chi _{U'}$ le caractère de U'. Puisque T et U' se correspondent, le théorème 1 donne

$\chi _{T}=\chi _{U'}.$

D'autre part,

$\chi _{T}=\chi _{U}$ par hypothèse.

Donc $\chi _{U}=\chi _{U'},$ donc, d'après le point a), U et U' sont équivalentes.
On est donc dans la situation suivante : U et U' sont matricielles et équivalentes, T est vectorielle et correspond à U'. D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1, b), il en résulte que T et U se correspondent.

Début d’un théorème

Théorème 24

Soient G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Alors $\chi$ est irréductible si et seulement si toute $\mathbb {C}$-représentation (matricielle ou vectorielle) de G ayant $\chi$ pour caractère est irréductible.

Fin du théorème

Démonstration. Cela se déduit facilement de la définition d'un $\mathbb {C}$-caractère irréductible, du théorème 23 (deux $\mathbb {C}$-représentations ayant le même caractère sont équivalentes) et du fait que si deux $\mathbb {C}$-représentations (toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles) sont équivalentes, si une de ces deux représentations est irréductible, l'autre l'est aussi (Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 2 ou 3).

Soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère d'un groupe fini G. Nous avons été amenés à considérer la fonction ${\bar {\chi }}$ (conjuguée complexe de $\chi$), par exemple au théorème 9. Nous allons prouver que la fonction ${\bar {\chi }}$ est elle aussi un $\mathbb {C}$-caractère de G. Pour cela, nous allons introduire la notion de $\mathbb {C}$-représentation matricielle contragrédiente d'une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G.

Soit T une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, c'est-à-dire un homomorphisme de G dans $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ pour un certain nombre naturel n. L'application

$U:G\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):g\mapsto ^{t}(T(g^{-1})),$

où le t en exposant à gauche désigne la transposée d'une matrice, est un homomorphisme de groupes. En effet,

$U(gh)=^{t}(T((gh)^{-1})),$

$U(gh)=^{t}(T(h^{-1}g^{-1})),$

$U(gh)=^{t}(T(h^{-1})T(g^{-1})),$

où le second membre, d'après la propriété $^{t}(MN)=^{t}M^{t}N$ de la transposée, est égal à $^{t}(T(g^{-1}))^{t}(T(h^{-1}))=U(g)U(h).$ Donc :$g\mapsto ^{t}(T(g^{-1}))$ définit une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G, de même degré que T.

Définition. Représentation contragrédiente d'une représentation matricielle.

Soit $T:G\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ une $\mathbb {C}$-représentation matricielle d'un groupe fini G. La $\mathbb {C}$-représentation matricielle contragrédiente de T, qu'on appelle aussi la contragrédiente de T, est par définition la $\mathbb {C}$-représentation matricielle $G\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):g\mapsto ^{t}(T(g^{-1}))$ de G.

Il est clair que la contragrédiente de la contragrédiente d'une $\mathbb {C}$-représentation matricielle T de G n'est autre que T.

Remarque. Si T est une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans un espace V, on peut définir de façon analogue la contragrédiente de T comme la représentation vectorielle $G\rightarrow \mathrm {GL} (V^{\star }):g\mapsto ^{t}(T(g^{-1}))$, où $V^{\star }$ désigne le dual de V (c'est-à-dire le $\mathbb {C}$-espace formé par les formes $\mathbb {C}$-linéaires sur V) et où le t en exposant désigne le transposé d'un endomorphisme d'espace vectoriel. La contragrédiente de la contragrédiente de T est alors une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans l'espace $V^{\star \star }$, espace canoniquement isomorphe à V, et est équivalente à T, ce que le lecteur intéressé pourra vérifier. Nous ne nous servirons pas de la contragrédiente d'une représentation vectorielle.

Début d’un théorème

Théorème 25

Soient G un groupe fini et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Alors ${\bar {\chi }}$ est un caractère de G, de même degré que $\chi$. Plus précisément, si $\chi$ est le caractère d'une $\mathbb {C}$-représentation matricielle U de G, ${\bar {\chi }}$ est le caractère de la contragrédiente de U. Pour que ${\bar {\chi }}$ soit irréductible, il faut et il suffit que $\chi$ le soit.

Fin du théorème

Démonstration. Soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G; désignons par $\chi _{U}$ le caractère de U.

(1) Le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur $Tr(^{t}(U(g^{-1}))).$

Puisqu'une matrice carrée et sa transposée ont la même diagonale principale et donc la même trace, la relation (1) revient à dire que le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur $Tr(U(g^{-1})),$ autrement dit sur $\chi _{U}(g^{-1})$, qui, d'après le théorème 9, est égal à ${\overline {\chi _{U}(g)}}.$ Donc le caractère de la contragrédiente de U est ${\overline {\chi _{U}}}.$ Que $\chi$ et ${\overline {\chi }}$ soient de même degré, cela résulte du fait qu'une $\mathbb {C}$-représentation matricielle et sa contragrédiente ont le même degré, ou encore du fait que, le degré $\chi (1)$ de $\chi$ étant un nombre naturel, ${\overline {\chi (1)}}=\chi (1).$ Nous avons ainsi prouvé les deux premières assertions de l'énoncé.
D'après le théorème 22, $\chi$ est irréductible si et seulement si $(\chi \vert \chi )=1.$ D'après le théorème 11, cette condition équivaut à $({\check {\chi }}\vert {\check {\chi }})=1$ et d'après le théorème 9, ceci équivaut à $({\bar {\chi }}\vert {\bar {\chi }})=1,$ ce qui, d'après le théorème 22, équivaut à ce que ${\bar {\chi }}$ soit irréductible. Cela prouve la troisième assertion de l'énoncé.

La démonstration du théorème qui suit montre que la considération des caractères simplifie parfois les choses.

Début d’un théorème

Théorème 26

Soit T une $\mathbb {C}$-représentation matricielle d'un groupe fini G. T est irréductible si et seulement sa contragrédiente l'est.

Fin du théorème

Démonstration. Désignons par $\chi$ le caractère de T. D'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24, T est irréductible si et seulement si $\chi$ est irréductible. D'après le théorème 25, il en résulte que

(1) T est irréductible si et seulement si ${\bar {\chi }}$ est irréductible.

D'autre part, toujours d'après le théorème 25, ${\bar {\chi }}$ est le caractère de la contragrédiente de T, donc, d'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24, ${\bar {\chi }}$ est irréductible si et seulement si la contragrédiente de T est irréductible.
Joint à (1), cela démontre l'énoncé.

Début d’un théorème

Lemme 27

Soit G un groupe fini, soit $\gamma :G\rightarrow \mathbb {C}$ une fonction centrale, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G ; soit V l'espace de T, soit d le degré de T, autrement dit la dimension de V, soit $\chi$ le caractère de T.
Alors l'endomorphisme de V

$\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$

est l'homothétie de rapport

${\frac {\vert G\vert }{d}}({\check {\gamma }}\mid \chi )={\frac {|G|}{d}}(\gamma \mid {\bar {\chi }})={\frac {1}{d}}\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)$.

Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 11, $({\check {\gamma }}\mid \chi )=({\check {\check {\gamma }}}\mid {\check {\chi }})=(\gamma \mid {\check {\chi }})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)$ et d'après le théorème 9, ${\check {\chi }}={\bar {\chi }}$.

Tout revient donc à prouver que si $u_{T,\gamma }$ désigne l'endomorphisme $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ de V, alors

(thèse 1)$\qquad u_{T,\gamma }$ est l'homothétie de rapport ${\frac {1}{d}}\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)$.

Prouvons d'abord que, pour tout élément g de G,

(thèse 2) $\qquad u_{T,\gamma }\circ T(g)=T(g)\circ u_{T,\gamma }$.

Nous avons

${\begin{aligned}u_{T,\gamma }\circ T(g)&=(\sum _{h\in G}\gamma (h)T(h))\circ T(g)\\&=\sum _{h\in G}\gamma (h)(T(h)\circ T(g))\\&=\sum _{h\in G}\gamma (h)(T(hg).\end{aligned}}$

Puisque $h\mapsto hg^{-1}$ définit une permutation de G, cela peut s'écrire

(3) $\qquad u_{T,\gamma }\circ T(g)=\sum _{h\in G}\gamma (hg^{-1})(T(h)$.

D'autre part,

${\begin{aligned}T(g)\circ u_{T,\gamma }&=T(g)\circ \sum _{h\in G}\gamma (h)T(h)\\&=\sum _{h\in G}\gamma (h)T(g)\circ T(h)\\&=\sum _{h\in G}\gamma (h)T(gh).\end{aligned}}$

Puisque $h\mapsto g^{-1}h$ définit une permutation de G, cela peut s'écrire

(4) $\qquad T(g)\circ u_{T,\gamma }=\sum _{h\in G}\gamma (g^{-1}h)T(h)$.

Puisque la fonction $\gamma$ est supposée centrale, nous avons $\gamma (g^{-1}h)=\gamma (hg^{-1}),$ donc (3) et (4) montrent que, pour tout g dans G,

$\qquad u_{T,\gamma }\circ T(g)=T(g)\circ u_{T,\gamma }$,

ce qui est notre thèse (2). Cela signifie que l'endomorphisme $u_{T,\gamma }$ de V appartient au commutant de la représentation vectorielle T. Puisque cette représentation est supposée irréductible, l'endomorphisme $u_{T,\gamma }$ est donc une homothétie. (Voir chapitre Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 2.)

Désignons par $\lambda$ le rapport de cette homothétie. Donc $\lambda$ est un nombre complexe tel que

$u_{T,\gamma }=\lambda \ \mathrm {id} _{V}$,

où $\mathrm {id} _{V}$ désigne l'endomorphisme identique de V.

En passant aux traces, nous trouvons

${\begin{aligned}\lambda \ d&=Tr(u_{T,\gamma })\\&=Tr(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))\\&=\sum _{g\in G}\gamma (g)Tr(T(g))\\&=\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)\end{aligned}}$

d'où notre thèse (1), qui, comme noté, prouve l'énoncé.

Remarque. On verra dans les exercices que l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être supprimée dans le lemme qui précède.

Début d’un théorème

Lemme 28. (Rappel d'algèbre linéaire.)

Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel de dimension finie, soit $\varphi :V\times V\rightarrow F$ une forme bilinéaire sur V. Soient $v_{1},\ldots ,v_{r}$ des éléments linéairement indépendants de V tels que le vecteur nul soit le seul élément w de V pour lequel $\varphi (v_{1},w)=\cdots =\varphi (v_{r},w)=0.$ Alors $v_{1},\ldots ,v_{r}$ forment une base de V.

Fin du théorème

Démonstration. En fait, on n'utilisera pas la bilinéarité de $\varphi$, mais seulement sa linéarité par rapport à la seconde variable.
Rappelons que, de façon générale, si W désigne un F-espace vectoriel de dimension finie n, si $f_{1},\ldots ,f_{s}$ sont des formes linéaires sur W, si le seul vecteur commun aux noyaux de ces formes est 0, alors $s\geq n.$ Pour le prouver, on peut dire par exemple que l'homomorphisme de F-espaces

$W\rightarrow F^{s}:w\mapsto (f_{1}(w),\ldots f_{s}(w))$

est injectif, donc $dim(W)\leq dim(F^{s})$, c'est-à-dire $n\leq s.$
(On pourrait aussi utiliser le fait que le noyau d'une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension n est de dimension $\geq n-1$, ce qui peut se démontrer à l'aide du premier théorème d'isomorphisme relatif aux groupes à opérateurs. De proche en proche, on en déduit que si s est un nombre naturel < n, l'intersection des noyaux de s formes linéaires sur V est un sous-espace de dimension $\geq n-s\geq 1$ et n'est donc pas réduite à 0.)
En appliquant cela aux formes linéaires $f_{1},\ldots ,f_{r}$, où

$f_{i}:V\rightarrow F:w\mapsto \varphi (v_{i},w),$

on trouve $r\geq \mathrm {dim} (V)$. Puisque $v_{1},\ldots ,v_{r}$ sont supposés linéairement indépendants, l'énoncé en résulte.

Début d’un théorème

Théorème 29

Soit G un groupe fini. Les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G forment une base orthonormale (pour la forme bilinéaire $(\ \mid \ )$) du $\mathbb {C}$-espace vectoriel des fonctions centrales $G\to \mathbb {C} .$ En particulier, le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G est égal au nombre des classes de conjugaison d'éléments de G.

Fin du théorème

Démonstration. Désignons par H(G) le $\mathbb {C}$-espace vectoriel des fonctions centrales $G\to \mathbb {C} .$ Soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. D'après le théorème 14, ces caractères forment un système orthohormal pour la forme bilinéaire $(\ \mid \ )$.

Pour prouver qu'ils forment une base de H(G), il suffit, d'après le lemme 28 (appliqué à la restriction de $(\ \mid \ )$ à $H(G)\times H(G)$), de prouver que tout élément de H(G) orthogonal à chacun des caractères $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ est nul.

Soit $\gamma :G\to \mathbb {C}$ une fonction centrale orthogonale à chacun des caractères $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$. Il s'agit donc de prouver que

(thèse 1) $\qquad \gamma$ est nulle.

Puisque les $(\gamma \mid \chi _{i})$ sont nuls, on a, d'après le lemme 27 :

(2) $\qquad \sum _{g\in G}{\check {\gamma }}(g)T(g)=0$

pour toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible T de G.

Puisque toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G est somme directe d'une famille finie de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, Théorème 18), (2) est encore vrai pour toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle T de G (non nécessairement irréductible), en particulier pour la $\mathbb {C}$-représentation régulière gauche L (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, Exemples de représentations). Cela donne

(3) $\qquad \sum _{g\in G}\gamma (g^{-1})L(g)=0$,

où les deux membres sont des endomorphismes du $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} [G]$.

Désignons par e l'élément neutre de G. En égalant les valeurs des deux membres de (3) en l'élément e de $\mathbb {C} [G]$ (on identifie ici G à une partie de $\mathbb {C} [G],$ abus de langage dont on a convenu), on trouve

$\sum _{g\in G}\gamma (g^{-1})g=0$ (dans $\mathbb {C} [G]$).

Puisque G est une base de $\mathbb {C} [G],$ nous avons donc $\gamma (g^{-1})=0$ pour tout g dans G, autrement dit $\gamma$ est la fonction nulle, ce qui est notre thèse (1). Comme on l'a vu, il en résulte que $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ forment une base du $\mathbb {C}$-espace H(G). Puisque la dimension de H(G) est égale au nombre des classes de conjugaison d'éléments de G (on l'a déjà noté dans la démonstration du théorème 19), k est donc égal à ce nombre, ce qui achève la démonstration.

Remarque. Le théorème 29 est plus fort que le théorème 19.

Début d’un théorème

Corollaire 30

Soit G un groupe fini. Le nombre de classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G est égal au nombre de classes de conjugaison d'éléments de G.

Fin du théorème

Démonstration. Cela résulte immédiatement du corollaire 16 et du théorème 29.

On a vu que si G est un groupe fini, K une classe de conjugaison d'éléments de G et $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G, $\chi$ est constant dans K. Nous noterons (abusivement) $\chi (K)$ la valeur prise par $\chi$ en tout point de K. Donc si g est un élément de G, si K désigne la classe de conjugaison de g, $\chi (g)=\chi (K).$ De plus, la classe de conjugaison de $g^{-1}$ est $K^{-1}$ et $\chi (g^{-1})=\chi (K^{-1}).$

Début d’un théorème

Théorème 31. (Seconde relation d'orthogonalité.)

Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{h}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères de G, soient K, K' des classes de conjugaison d'éléments de G. Alors

$\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(K){\overline {\chi _{i}(K')}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {\vert G\vert }{\vert K\vert }}\ \mathrm {si} \ K=K',\\0\ \mathrm {si} \ K\neq K'.\end{array}}\right.$

Cela peut encore s'écrire

$\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(K){\overline {\chi _{i}(K')}}=\delta _{K,K'}\ {\frac {\vert G\vert }{\vert K\vert }},$

où $\delta$ est le symbole de Kronecker.

Fin du théorème

Démonstration. Désignons par $\varphi _{K}:G\to \mathbb {C}$ la fonction caractéristique de K (comme partie de G), c'est-à-dire que $\varphi _{K}$ est définie par

$\varphi _{K}(g)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\ \mathrm {si} \ g\in K,\\0\ \mathrm {si} \ g\notin K.\end{array}}\right.$

Puisque K est une classe de conjugaison, cette fonction est centrale. D'après le théorème 29, il existe donc des nombres complexes $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{h}$ tels que

(1)$\qquad \varphi _{K}=\lambda _{1}\chi _{1}+\cdots \lambda _{h}\chi _{h}.$

Pour tout i dans {1, ... , h}, nous avons alors

$(\varphi _{K}\vert \chi _{i})=\lambda _{1}(\chi _{1}\vert \chi _{i})+\cdots \lambda _{h}(\chi _{h}\vert \chi _{i}),$

d'où, d'après la première relation d'orthogonalité (théorème 17),

(2) $\qquad \lambda _{i}=(\varphi _{K}\vert \chi _{i}).$

(La démonstration de cette relation peut s'étendre immédiatement de $\varphi _{K}$ à toute fonction centrale de G dans $\mathbb {C}$. On obtient ainsi un énoncé dont le théorème 20 est un cas particulier.)
Par définition de $(\ \vert \ ),$ la relation (2) s'écrit

$\lambda _{i}={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\varphi _{K}(g)\chi _{i}(g^{-1}).$

Comme $\varphi _{K}$ est nulle en dehors de K, on peut limiter la sommation aux g appartenant à K, donc

$\lambda _{i}={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in K}\chi _{i}(g^{-1}).$

Puisque $g\mapsto g^{-1}$ définit une bijection de K sur K^-1 (ensemble des inverses des éléments de K), le résultat peut s'écrire

(3) $\qquad \lambda _{i}={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in K^{-1}}\chi _{i}(g).$

On vérifie facilement que K^-1 est une classe de conjugaison, donc $\chi$ est constant de valeur $\chi (K^{-1})$ dans K^-1, donc (3) peut s'écrire

$\lambda _{i}={\frac {\vert K^{-1}\vert }{\vert G\vert }}\chi _{i}(K^{-1})$

ou encore (puisque $\vert K^{-1}\vert =\vert K\vert$)

$\lambda _{i}={\frac {\vert K\vert }{\vert G\vert }}\chi _{i}(K^{-1}).$

Donc (1) peut s'écrire

$\varphi _{K}={\frac {\vert K\vert }{\vert G\vert }}\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(K^{-1})\chi _{i},$

$\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(K^{-1})\chi _{i}={\frac {\vert G\vert }{\vert K\vert }}\varphi _{K}.$

En passant aux valeurs en $g\in G,$ nous trouvons $\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(K^{-1})\chi (g)={\frac {\vert G\vert }{\vert K\vert }}\varphi _{K}(g)$ pour tout g dans G. Cela revient à dire que pour toute classe de conjugaison K',

$\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(K^{-1})\chi (K')=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {\vert G\vert }{\vert K\vert }}\ \mathrm {si} \ K'=K,\\0\ \mathrm {si} \ K'\neq K.\end{array}}\right.$

En remplaçant K et K' par leurs inverses et en se rappelant que, pour tout g dans G, $\chi _{i}(g^{-1})={\overline {\chi _{i}(g)}},$ on obtient l'énoncé.