Translation et homothétie/Exercices/Pour les cracks

Exercice 7-1

Soient :

• $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan ;
• ${\mathcal {C}}$ un cercle passant par $A$ et $B$ ;
• ${\mathcal {C}}_{1}$ et ${\mathcal {C}}_{2}$ deux cercles, tangents intérieurement à ${\mathcal {C}}$ respectivement en $A$ et $B$ et tangents entre eux en un point $M$.

La droite $(AM)$ recoupe le cercle ${\mathcal {C}}$ en $D$.

La droite $(BM)$ recoupe le cercle ${\mathcal {C}}$ en $E$.

Démontrez que les points $D$ et $E$ sont diamétralement opposés sur le cercle ${\mathcal {C}}$.

Solution

Soient :

• $r$, $r_{1}$ et $r_{2}$ les rayons des trois cercles ;
• $h_{1}$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $r_{1}/r$, qui envoie ${\mathcal {C}}$ sur ${\mathcal {C}}_{1}$ et $D$ sur $M$ ;
• $h_{2}$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $r_{2}/r$, qui envoie ${\mathcal {C}}$ sur ${\mathcal {C}}_{2}$ et $E$ sur $M$ ;
• $h$ l'homothétie de centre $M$ et de rapport $-r_{2}/r_{1}$, qui envoie ${\mathcal {C}}_{1}$ sur ${\mathcal {C}}_{2}$.

Alors, l'homothétie $h_{2}^{-1}\circ h\circ h_{1}$ envoie $D$ sur $E$ et, puisqu'elle a pour rapport $-1$ et envoie ${\mathcal {C}}$ sur lui-même, c'est la symétrie par rapport au centre de ${\mathcal {C}}$.

 

Exercice 7-2

Soient :

• ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$ deux droites perpendiculaires en un point $O$ ;
• $P$ et $Q$ deux points de ${\mathcal {D}}$ tels que ${\vec {OP}}=2{\vec {OQ}}$.

On considère un point $M$ variable tout en restant équidistant de $P$ et $Q$.

Les droites $(MP)$ et $(MQ)$ coupent ${\mathcal {D}}'$ respectivement en $A$ et $B$.

Soient $R$ et $S$ les centres des cercles circonscrits ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ respectivement aux triangles $PAO$ et $QBO$.

1°  a)  Démontrez que le quadrilatère $ORMS$ est un parallélogramme.

b)  Il existe deux homothéties qui transforment ${\mathcal {C}}$ en ${\mathcal {C}}'$. Démontrez que le centre de l'une des deux est fixe et trouvez le lieu géométrique de l'autre, lorsque $M$ varie (sur la médiatrice de $[PQ]$).

2°  Les cercles ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ se coupent en $O$ et $T$. Quel est le lieu géométrique de $T$ lorsque $M$ varie ?

Solution

1°  a)  Puisque ${\vec {OP}}=2{\vec {OQ}}$ et que $M$ est sur la médiatrice (parallèle à ${\mathcal {D}}'$) de $[PQ]$, on a ${\vec {MA}}=-3{\vec {MP}}$, ${\vec {MB}}=3{\vec {MQ}}$ et ${\vec {OA}}=-2{\vec {OB}}$. D'autre part, $R$ est le milieu de l'hypoténuse $[AP]$ et de même, $S$ est le milieu de $[BQ]$. Par conséquent, ${\vec {RM}}={\frac {\vec {AP}}{4}}={\frac {{\vec {OP}}-{\vec {OA}}}{4}}={\frac {{\vec {OQ}}+{\vec {OB}}}{2}}={\vec {OS}}$.

b)  Les deux homothéties ont pour rapport $\pm {\frac {1}{2}}$. Celle de rapport $-{\frac {1}{2}}$ a pour centre le point $\Omega \in {\mathcal {D}}$ défini par ${\vec {O\Omega }}={\frac {2}{3}}{\vec {OQ}}$. Celle de rapport ${\frac {1}{2}}$ a pour centre le point $\Omega '$ défini par ${\vec {O\Omega '}}=2({\vec {MQ}}+{\vec {MP}})$, qui parcourt ${\mathcal {D}}'$.

2°  Dans un repère orthonormé d'axes ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$, si $Q$ a pour abscisse $q$ et $M$ a pour ordonnée $m$, ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$ ont pour équations $(x-q/2)^{2}+(y+m)^{2}=q^{2}/4+m^{2}$ et $(x-q)^{2}+(y-2m)^{2}=q^{2}+4m^{2}$ donc les coordonnées $(x,y)$ de $T$ vérifient : $x=-6ym/q$ et $x^{2}+y^{2}=4qx/3$. Par conséquent, $T$ parcourt le cercle de centre $\Omega$ passant par $O$.