Trigonométrie/Relations trigonométriques

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Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

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La tangente comme quotient

Soit la variable $x$ dont la mesure est différente de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$.

La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus : $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$.

Concernant la parité : $\tan(-x)=-\tan(x)$, puisque $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction tangente est donc impaire.

Démonstration

On a vu que

$\cos({\widehat {A}})={\frac {AB}{AC}}\qquad \sin({\widehat {A}})={\frac {BC}{AC}}\qquad \tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}.$

Ainsi

$\tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}={\frac {\frac {BC}{AC}}{\frac {AB}{AC}}}={\frac {\sin({\widehat {A}})}{\cos({\widehat {A}})}}$

donc pour tout angle $x$ différent de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$ (car $\cos(x)\neq 0$), on a : $\tan({x})={\frac {\sin({x})}{\cos({x})}}$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Sachant que $\cos(x)=0,5$ et $\sin(x)\approx 0{,}866$, calculer une valeur approchée de $\tan(x)$.

Solution

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\approx {\frac {0{,}866}{0{,}5}}\approx 1{,}732$.

 

Fin de l'exemple

Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale)

On a pour tout réel $x$ : $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$.

Démonstration

Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique, montrant le lien entre cosinus et sinus.

On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que

« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :

$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.

Or ici :

• $AC=1$ ;
• $AD=\cos {\widehat {CAD}}$ ;
• $CD=\sin {\widehat {CAD}}$.

Ainsi, $\cos ^{2}{\widehat {CAD}}+\sin ^{2}{\widehat {CAD}}=1$.

 

Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\cos(x)=0{,}5$, calculer une valeur exacte de $\sin(x)$.

Solution

$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$

donc : $\sin x={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ou $\sin x=-{\sqrt {\frac {3}{4}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.

 

Propriétés des arcs associés

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

${\begin{aligned}\cos(-a)&=\cos a\\\sin(-a)&=-\sin a\\\tan(-a)&=-\tan a\end{aligned}}$		${\begin{aligned}\cos(\pi -a)&=-\cos a\\\sin(\pi -a)&=\sin a\\\tan(\pi -a)&=-\tan a\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\sin a\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\cos a\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&={\frac {1}{\tan a}}=\cot a\end{aligned}}$		${\begin{aligned}\cos(\pi +a)&=-\cos a\\\sin(\pi +a)&=-\sin a\\\tan(\pi +a)&=\tan a\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-\sin a\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=\cos a\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-{\frac {1}{\tan a}}=-\cot a\end{aligned}}$

Formules de trigonométrie

Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Formulaire 1 : addition

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\tan(a+b)&={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\end{aligned}}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)

Formulaire 2 : duplication

$${\begin{aligned}\cos 2a&=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=2\cos ^{2}a-1\\&=1-2\sin ^{2}a\\&={\frac {1-\tan ^{2}a}{1+\tan ^{2}a}}\\\sin 2a&=2\sin a\cos a\\\tan 2a&={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\end{aligned}}$$

Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)

${\begin{aligned}\cos ^{2}a&={\frac {1+\cos 2a}{2}}\\\sin ^{2}a&={\frac {1-\cos 2a}{2}}\\\tan ^{2}a&={\frac {1-\cos 2a}{1+\cos 2a}}\\\end{aligned}}$

Formulaire 4 : produit-somme

${\begin{aligned}\cos a\cos b&={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\\\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\\\tan a\tan b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\cos(a-b)+\cos(a+b)}}\\\end{aligned}}$

Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

${\begin{aligned}\cos a+\cos b&=2\cos {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\\\cos a-\cos b&=-2\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}\\\sin a+\sin b&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\\\sin a-\sin b&=2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\\\tan a+\tan b&={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}\\\tan a-\tan b&={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}\\\end{aligned}}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)