Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I - Correction
MECANIQUE modifier
Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre modifier
-
- À partir de , avec et , on obtient :
- L'énergie cinétique est donnée par :
L'énergie potentielle est donnée par :
- La seule force à laquelle est soumise la barre est la force de pesanteur, conservative, donc il y a conservation de l'énergie mécanique.
- Pour de petits mouvements, on effectue un développement au premier ordre de , , d'où l'équation différentielle :
- , donc
- , donc
A.N. : Avec on a
- À partir de , avec et , on obtient :
Partie 2 - Oscillateur harmonique modifier
-
- Le ressort exerce sur la plateforme une force
- L'énergie cinétique est donnée par :
Puis par dérivation :
D'où l'équation différentielle pour la variable
- Avec , les solutions de cette équation différentielle sont :
- , donc
- , donc
- Le ressort exerce sur la plateforme une force
Partie 3 - Oscillations couplées modifier
-
- L'accélération de est donnée par :
Avec on a :
puis
Le référentiel lié à la plateforme étant en translation par rapport au référentiel du laboratoire, la loi de composition des mouvements donne :
Avec et , on obtient :
- En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la tige, dans le référentiel du laboratoire, on a :
- est le moment cinétique barycentrique donc :
- En dérivant l’expression précédente :
D'après le théorème du moment cinétique barycentrique :
où
On obtient :
- La relation précédente avec les expressions de et déterminées en 3.2 donne :
- Dans l'hypothèse des petits mouvements et d'où :
avec et
Application numérique : Avec la valeur de de la partie 1, on a .
- La plateforme est soumise
- à son poids
- à la force de rappel élastique
- à la réaction d'axe s'exerçant sur la plateforme
- Dans l'hypothèse des petits mouvements et
avec et
- , on obtient
et sont des coefficients sans dimension et donc
- On cherche des solutions du système
et
- Le système des équations I et II étant linéaire, les expressions de et proposées sont bien solutions, et ces solutions vérifient :
- et
- L'accélération de est donnée par :