Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Exercices/Test du χ²

L'expérience de Mendel

La différence de couleur entre les deux lignées considérées de pois est contrôlée par un seul gène, ou de manière équivalente, un seul couple d'allèles C et c : la couleur jaune étant dominante (C) et le vert récessif (c). De même, la forme des pois (rond ou ridé) est portée par un autre gène à deux allèles R (dominant) pour la forme ronde et r (récessif) pour la forme ridée.

On observe alors les descendances d'hétérozygotes CcRr. Les lois de Mendel prévoient la répartition théorique : 9/16 de pois jaunes et ronds ([CR]), 3/16 de pois jaunes et ridés ([Cr]), 3/16 de pois verts et ronds ([cR]) et enfin, 1/16 de pois verts et ridés ([cr]). Dans ses expériences, Mendel a obtenu les résultats suivants : 315 jaunes ronds, 101 jaunes ridés, 108 verts ronds et 32 verts ridés. On se propose d'utiliser un test du χ² pour vérifier que les lois de Mendel s'appliquent bien ici.

1. Donnez dans un tableau les effectifs observés et les effectifs théoriques.
2. Si l'on se fixe le risque d’erreur 0,05, donnez le seuil critique correspondant.
3. Calculez la valeur t du test correspondant à l'échantillon.
4. Conclusion ?

Solution

1.

	CR	Cr	cR	cr
Effectifs observés	315	101	108	32
Effectifs théoriques	556 × 9/16 = 312,75	556 × 3/16 = 104,25	556 × 3/16 = 104,25	556 × 1/16 = 34,75

2. Il y a 4 catégories. Le degré de liberté du test du χ² est donc 4 − 1 = 3. Si l'on prend le risque d’erreur 0,05, le seuil critique correspondant est alors 7,815.

3. $t={\frac {(312{,}75-315)^{2}}{312{,}75}}+{\frac {(104{,}25-101)^{2}}{104{,}25}}+{\frac {(104{,}25-108)^{2}}{104{,}25}}+{\frac {(37{,}75-32)^{2}}{34{,}75}}\approx 0{,}47$.

4. Les conditions de validité du test sont bien vérifiées : 556 > 30 et les effectifs théoriques sont tous supérieurs à 5. On a t < 7,815 ; on peut donc considérer que la différence entre les valeurs trouvées sur l'échantillon et le modèle théorique n'est pas significative. La loi de Mendel semble s'appliquer.