Électromagnétisme dépendant du temps/Nécessité de nouvelles équations

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Dans ce chapitre, nous montrons que certaines relations vraies en statique ne le sont plus dans le cas général, justifiant la recherche de lois plus complètes.

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Échec de la loi des nœuds

En régime variable, la charge en un point peut varier dans le temps. On a toujours continuité de la charge :

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

Mais on n'a plus conservation du flux de j, donc la loi des nœuds n'est plus vraie. Dans le cas général,

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} \neq 0$

Échec du théorème d'Ampère

Prenons un cas particulier pour montrer que le théorème d'Ampère n'est plus vérifié.

Soit une boule chargée, de charge Q(t). Cette charge est évacuée de la boule sous forme de courants dirigés vers l'extérieur (c'est-à-dire pointant dans le sens opposé à celui du centre de la boule). Il s'agit d'un problème à symétrie sphérique, nous utilisons le système de coordonnées sphériques $(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi })$, alors :

$\mathbf {j} =j\left(r\right)\mathbf {e} _{r}$

Par symétries de la distribution de courants, B est nul. Donc sa circulation sur tout contour est nul. Or, j n’est pas nul, donc l'intensité enlacée non plus. Le théorème d'Ampère est violé.

Maintenant, démontrons l'échec du théorème d'Ampère dans le cas général. Localement, il s'écrit :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j}$

Prenons la divergence de cette relation :

$\underbrace {\mathrm {div} \;\mathbf {rot} } _{=0}\;\mathbf {B} =\mu _{0}\mathrm {div} \;\mathbf {j}$

La divergence du rotationnel étant toujours nulle (d'après les théorèmes d'analyse vectorielle), on a ainsi :

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} =0$

Or, d’après la continuité de la charge,

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Conclusion : le théorème d'Ampère est vrai si et seulement si l’on est en régime statique. Dans le cas général, donc, il n’est pas vrai :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {B} \neq \mu _{0}\mathbf {j}$

Échec de la loi des mailles

Expérimentalement, les phénomènes d'induction sont une violation de la loi des mailles. En effet, d’après la loi de Faraday,

$e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$

où Φ est le flux magnétique à travers un circuit fermé Γ et e (appelé « force électromotrice »)est défini par :

$e=\oint _{\Gamma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$

Ce n'est autre que la circulation. En cas d'induction, donc, la loi des mailles n'est plus vraie. Cette relation n'est donc plus valable dans le cas général :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {E} \neq 0$

Potentiel électrique

Comme nous le verrons, il n'est plus vrai dans le cas général que E dérive d'un potentiel V. Ainsi, dans le cas général,

$\mathbf {E} \neq -\mathbf {grad} \;V$

Ce qui reste valable

L'hypothèse que les monopôles magnétiques n'existent pas ne dépend pas de la nature statique ou non des champs. Ainsi, on a toujours :

$\mathrm {div} \;\mathbf {B} =0$

De plus, on observe expérimentalement que le théorème de Gauss n’est pas violé, ce qui fait qu'on a toujours :

$\mathrm {div} \;\mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Enfin, le champ magnétique dérive toujours du potentiel vecteur (ceci découle directement de div B = 0) :

$\mathbf {B} =\mathbf {rot} \;\mathbf {A}$