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Électrostatique des conducteurs : Système de conducteurs Électrostatique des conducteurs/Système de conducteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Énergie d'un système de conducteurs placé dans son propre champ
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On part des charges nulles pour arriver à Q₁ et Q₂ :
x
∈
[
0
;
1
]
{\displaystyle x\in [0;1]}
{
q
1
=
x
Q
1
v
1
=
x
V
1
{\displaystyle {\begin{cases}q_{1}=xQ_{1}\\v_{1}=xV_{1}\end{cases}}}
{
q
2
=
x
Q
2
v
2
=
x
V
2
{\displaystyle {\begin{cases}q_{2}=xQ_{2}\\v_{2}=xV_{2}\end{cases}}}
Entre t et t+dt , on accroît la charge des conducteurs. Les générateurs fournissent alors
d
W
e
=
v
1
d
q
1
+
v
2
d
q
2
{\displaystyle \mathrm {d} W_{e}=v_{1}~\mathrm {d} q_{1}+v_{2}~\mathrm {d} q_{2}}
ie
d
W
e
=
(
V
1
Q
1
+
V
2
Q
2
)
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} W_{e}=(V_{1}Q_{1}+V_{2}Q_{2})x~\mathrm {d} x}
Sur toute la charge :
W
e
=
∫
0
1
(
V
1
Q
1
+
V
2
Q
2
)
x
d
x
{\displaystyle W_{e}=\int _{0}^{1}(V_{1}Q_{1}+V_{2}Q_{2})x~\mathrm {d} x}
W
e
=
1
2
(
Q
1
V
1
+
Q
2
V
2
)
{\displaystyle W_{e}={\frac {1}{2}}(Q_{1}V_{1}+Q_{2}V_{2})}
W
e
=
1
2
(
∑
i
V
i
Q
i
)
{\displaystyle W_{e}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}V_{i}Q_{i}\right)}
∀
i
≠
j
,
∂
v
i
∂
q
j
=
∂
v
j
∂
q
i
{\displaystyle \forall i\not =j,~{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial v_{j}}{\partial q_{i}}}}
Début d’un théorème
Théorème
La matrice de capacité d'un système de conducteurs est symétrique .
Fin du théorème