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Énoncé mathématique des principes de la statique : Principe fondamental de la statique par un solide soumis à n forces Énoncé mathématique des principes de la statique/Principe fondamental de la statique par un solide soumis à n forces », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.
∑ R → = 0 → {\displaystyle \sum {\vec {R}}={\vec {0}}} ∑ M A → = 0 → {\displaystyle \sum {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {0}}}
( G , P → ) {\displaystyle (G,{\vec {P}})} kN G le centre de gravité. Déterminer les actions exercées en A et B entre les roues et le sol.
Soit le sol objet (0) et la voiture objet (1).
On isole la voiture (1)
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Bilan des actions mécaniques extérieures :
{ T P → } = { 0 0 − 2 , 1 × 10 4 0 0 0 } G , R {\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{\vec {P}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\-2,1\times 10^{4}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{G,R}} { T 0 → 1 } = { 0 0 y A 0 0 0 } A , R = { 0 0 y B 0 0 0 } B , R {\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{A}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{A,R}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{B}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{B,R}} La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.
− 2 , 1 × 10 4 + y A + y B = 0 {\displaystyle -2,1\times 10^{4}+y_{A}+y_{B}=0} Formule de changement de point
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On connaît une action en G et on souhaite savoir ce qu'elle devient en A .
M A → = M G → + A G → ∧ R → {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{G}}}+{\vec {AG}}\wedge {\vec {R}}} M A → = M G → ( 0 0 0 ) + A G → ( 1 , 65 0 0 ) ∧ R → ( 0 − 2 , 1 × 10 4 0 ) {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{G}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\vec {AG}}{\begin{pmatrix}1,65\\0\\0\end{pmatrix}}\wedge {\vec {R}}{\begin{pmatrix}0\\-2,1\times 10^{4}\\0\end{pmatrix}}} M A → ( 0 0 − 3 , 465 × 10 4 ) {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\-3,465\times 10^{4}\end{pmatrix}}} donc
{ T P → } = { 0 0 − 2 , 1 × 10 4 0 0 − 3 , 465 × 10 4 } G , R {\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{\vec {P}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\-2,1\times 10^{4}&0\\0&-3,465\times 10^{4}\end{Bmatrix}}_{G,R}} On connaît une action en B et on souhaite savoir ce qu'elle devient en A .
M A → = M B → + A B → ∧ R → {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{B}}}+{\vec {AB}}\wedge {\vec {R}}} M A → = M B → ( 0 0 0 ) + A B → ( 2 , 6 0 0 ) ∧ R → ( 0 y B 0 ) {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}={\vec {{\mathcal {M}}_{B}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\vec {AB}}{\begin{pmatrix}2,6\\0\\0\end{pmatrix}}\wedge {\vec {R}}{\begin{pmatrix}0\\y_{B}\\0\end{pmatrix}}} M A → ( 0 0 2 , 6 y B ) {\displaystyle {\vec {{\mathcal {M}}_{A}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2,6y_{B}\end{pmatrix}}} donc
{ T 0 → 1 } = { 0 0 y B 0 0 2 , 6 y B } B , R {\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\y_{B}&0\\0&2,6y_{B}\end{Bmatrix}}_{B,R}} Pour résoudre y A {\displaystyle y_{A}} y B {\displaystyle y_{B}}
{ − 2 , 1 × 10 4 + y A + y B = 0 − 3 , 465 × 10 4 + 2 , 6 y B = 0 {\displaystyle {\begin{cases}-2,1\times 10^{4}+y_{A}+y_{B}=0\\-3,465\times 10^{4}+2,6y_{B}=0\end{cases}}} { y A = 7 , 67 × 10 3 y B = 1 , 333 × 10 4 {\displaystyle {\begin{cases}y_{A}=7,67\times 10^{3}\\y_{B}=1,333\times 10^{4}\end{cases}}} { T 0 → 1 } = { 0 0 7 , 67 × 10 3 0 0 0 } A , R = { 0 0 1 , 333 × 10 4 0 0 0 } B , R {\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0&0\\7,67\times 10^{3}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{A,R}={\begin{Bmatrix}0&0\\1,333\times 10^{4}&0\\0&0\end{Bmatrix}}_{B,R}} donc
On isole la voiture (1)
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Soit I le point d'intersection de la droite (AB ), donc AI = 1,65 m AB = 2,6 m
La somme des vecteurs forces est égale au vecteur zéro. La somme des moments des forces est égale au vecteur zéro.
{ A + B − 2 , 1 × 10 4 = 0 2 , 6 × B = 1 , 65 × 2 , 1 × 10 4 {\displaystyle {\begin{cases}A+B-2,1\times 10^{4}=0\\2,6\times B=1,65\times 2,1\times 10^{4}\end{cases}}} { A = 7 , 67 × 10 3 B = 1 , 333 × 10 4 {\displaystyle {\begin{cases}A=7,67\times 10^{3}\\B=1,333\times 10^{4}\end{cases}}}
