Équation différentielle linéaire/Équations différentielles linéaires d'ordre un

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction

Dans l'étude des équations différentielles ordinaires linéaires (nous préciserons ce terme plus loin), le cas le plus simple est celui d'une relation entre une fonction et sa dérivée. En réalité, il permet de construire la base d'une théorie générale des équations de tous ordres.

Cette première leçon rappelle les définitions et théorèmes importants, qui serviront à la généralisation de l'étude.

Définitions et notations

Bien que très générales, rappelons les notations qui seront utilisées dans cette leçon.

Notations

Si f est une fonction dérivable d'une variable réelle, on notera alternativement sa dérivée première $\scriptstyle f'$ ou ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$. Si on y est amené, les dérivées d'ordre supérieur seront notées avec leur ordre entre parenthèses : $f^{\left(n\right)},\ldots ,f^{\left(p\right)}$.

Précisons alors les objets de notre étude dans ce chapitre :

Définitions

Soient a, b et c trois fonctions de la variable réelle, a ne s'annulant pas. Soit f une fonction de $\scriptstyle \mathbb {R}$ dans $\scriptstyle \mathbb {C}$ dérivable. Une équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un est alors une relation de la forme :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)+c\left(x\right)=0$

L’équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un associée à cette dernière est :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$

On appelle solution de l'équation différentielle toute fonction dérivable vérifiant la relation concernée. On appelle ensemble des solutions de l'équation différentielle les seules fonctions vérifiant la relation concernée.

Un cas particulier important concerne le cas où ces fonctions sont constantes :

Définitions

Soient a, b et c trois nombres complexes, a étant non-nul. Soit f une fonction de $\scriptstyle \mathbb {R}$ dans $\scriptstyle \mathbb {C}$ dérivable. Une équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants est alors une relation de la forme :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad af'\left(x\right)+bf\left(x\right)+c=0$

L’équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants associée à cette dernière est :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=0$

Résultats généraux

Rappelons les théorèmes fondamentaux qui serviront notre étude :

Début d’un théorème

Théorème

Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre un sont somme d'une solution à l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.

Fin du théorème

Un théorème très important d'un point de vue physique :

Début d’un théorème

Théorème de Cauchy

Deux complexes x₀ et y₀ étant donnés, il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre un vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$.

Fin du théorème

Équations différentielles à coefficients constants

Théorèmes importants

Le cas des coefficients constants est élémentaire, rappelons rapidement le résultat général :

Début d’un théorème

Solutions de l'équation différentielle

L'ensemble des solutions de l'équation complète est :

$S=\{Ae^{-{\frac {b}{a}}x}-{\frac {c}{b}}\,|\,A\in \mathbb {C} \}$.

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire ordinaire d'ordre un est donc un espace de dimension 1.

Fin du théorème

Exemple : vitesse terminale

Prenons un exemple rapide : un objet en chute, subissant le frottement fluide de l'air. La mécanique newtonienne donne :

$mv'=-hv+mg$

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$v'+{\frac {h}{m}}v-g=0$

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

$v=Ae^{-{\frac {h}{m}}t}+{\frac {gm}{h}}$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :

$0=A+{\frac {gm}{h}}$

La solution finale au problème est donc :

$v\left(t\right)={\frac {gm}{h}}\left(1-e^{-{\frac {h}{m}}t}\right)$

Remarques

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $\scriptstyle t\to \infty$. Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\scriptstyle \pm \infty$.

Cas général

Résolution complète

La fonction a ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir b et c pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de f. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :

$f'+{\frac {b(x)}{a(x)}}f=0$

Soit $\Phi$ une primitive de la fonction ${\frac {b}{a}}$, par exemple :

$\Phi =\int _{x_{0}}^{x}{\frac {b(t)}{a(t)}}\,\mathrm {d} t$

où x₀ est un réel que l’on fixe (par exemple 0).

Alors la dérivée de $\phi :x\mapsto e^{-\Phi (x)}$ est

$\phi '(x)=-\Phi '(x)e^{-\Phi (x)}=-{\frac {b(x)}{a(x)}}\phi (x)$.

On a ainsi l’ensemble des solutions à l'équation homogène :

Début d’un théorème

Solutions de l'équation homogène

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène d'ordre un est :

$S_{0}=\{Ae^{-\Phi \left(x\right)}|A\in \mathbb {C} \}$.

C'est un ensemble de dimension 1.

Fin du théorème

Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :

$f\left(x\right)=A\left(x\right)\phi \left(x\right)$.

On a donc, en dérivant :

$f'=A'\phi +A\phi '$.

Réinjectons cela dans l'équation différentielle :

$f'+{\frac {b}{a}}f=A'\phi +A\phi '+{\frac {b}{a}}A\phi =A'\phi +\left(\phi '+{\frac {b}{a}}\phi \right)A=A'\phi =-{\frac {c}{a}}$

ce qui donne directement :

$A'=-{\frac {c}{a\phi }}=-{\frac {c}{a}}e^{+\Phi }$

Donc :

$A\left(x\right)=\int _{x_{0}}^{x}-{\frac {c\left(s\right)}{a\left(s\right)}}e^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s$

On a ainsi une solution particulière. Finalement, nous avons résolu complètement l'équation différentielle.

Début d’un théorème

Solution complète de l'équation différentielle

L'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre un est :

$S=\left\{\left[A+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c\left(s\right)}{a\left(s\right)}}e^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s\right]\cdot e^{-\Phi \left(x\right)}\,|\,A\in \mathbb {C} \right\}$

avec

$\Phi :x\mapsto \int _{x_{0}}^{x}{\frac {b(t)}{a(t)}}\,\mathrm {d} t$.

Il s'agit d'un espace de dimension un.

Fin du théorème

Remarques

• On retrouve bien entendu le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
• La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également bien difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche, et cela nous intéressera pour la suite, une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

Exemple

Cas d'un mobile de masse variable (supposée connue et unité à l'origine), soumis à une force sinusoïdale. Cet exemple n'est probablement d'aucun intérêt pratique, mais il illustre le développement mathématique précédent :

${\dot {p}}=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$

On a ainsi :

$m(t)v'(t)+v(t)m'(t)=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$

Posons le problème sous la forme canonique :

$v'(t)+{\frac {m'(t)}{m(t)}}v(t)-{\frac {F_{0}}{m(t)}}\sin(\omega _{0}t)=0$

Les solutions sont, d’après la formule générale, de la forme :

$v(t)=\left[A+\int _{0}^{t}{\frac {F_{0}}{m(s)}}\sin(\omega _{0}s)e^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s\right]\cdot e^{-\Phi \left(t\right)}$

avec

$\Phi :t\mapsto \int _{0}^{t}{\frac {m'(s)}{m(s)}}\,\mathrm {d} s=\ln m(t)$.

Donc :

$v(t)=-Am(t)-F_{0}\int _{0}^{t}\sin(\omega _{0}s)m(s)\,\mathrm {d} s$

On note v₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, A = -v₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse m₀ = 1. La solution est donc :

$v(t)={\frac {m(t)}{m_{0}}}v_{0}-F_{0}\int _{0}^{t}\sin(\omega _{0}s)m(s)\,\mathrm {d} s$

Sans préciser m davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c’est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement v.