En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équation différentielle linéaire : Exemples et intérêt Équation différentielle linéaire/Exemples et intérêt », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous avons développé un arsenal mathématique pour résoudre ces équations, espérons que c’est utile ! Fort heureusement, ça l'est. En effet, pour beaucoup, la physique regorge d'équations différentielles, et on peut parfois les approcher par des équations linéaires.
On présente ici quelques exemples et rappelons les avantages de ces méthodes.
Ces quelques résultats nous seront utiles dans les exemples, bien que probablement connus du lecteur. Tout d’abord sur l’existence de racines :
Début d’un théorème
Théorème de d'Alembert
Le corps des nombres complexes est algébriquement clos. En d'autres termes, tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps des nombres complexes a au moins une racine dans .
Fin du théorème
En particulier, le cas des polynômes d'ordre deux est simplissime :
Début d’un théorème
Racines d'un polynôme d'ordre 2
Soit un polynôme de degré deux. Alors il admet dans une racine, deux racines réelles ou deux racines complexes. On pose , quantité appelée « discriminant ».
Si , alors il y a une seule racine : ;
Si , il y a deux racines réelles :
Si , il y a deux racines complexes conjuguées :
Fin du théorème
Rappelons enfin une propriété immédiate pour ces polynômes :
Propriété
On note et les racines de P, alors :
Le fait d’utiliser la notation complexe, pour un problème qui ne traite que de quantité physiques réelles, permet de restreindre les solutions complexes. Démontrons un résultat utile :
Début d’un théorème
Théorème
Soit A, B deux complexes. Soit r₁ et r₂ deux racines complexes conjuguées d'un polynôme d'ordre deux. Alors :
Cela a pour conséquence, notamment, que les solutions réelles associées sont de la forme :
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Démonstration
Notons et . Alors :
On utilise alors l'identité d'Euler : eiθ = cos(θ) + isin(θ).
La partie réelle de cette dernière expression donne les coefficients λ et μ donnés dans l'énoncé.
Fin de la démonstration
Enfin, un théorème d'équivalence, parfois utile :
Début d’un théorème
Théorème
Il est possible, pour tout A et B réels, de trouver C et D réels tels que l'égalité suivante est vérifiée
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Démonstration
On pose , alors :
Il est alors possible de trouver tel que et , la quantité de départ s'écrit ainsi :
Soit une masse m, assimilée à un point, astreinte à se déplacer selon un axe x. Elle est retenue par un ressort de raideur k, de longueur à vide nulle. Mettons cela en équation à partir des lois de Newton :
Réécrivons-la sous une forme similaire à celle étudiée dans le chapitre précédent :
Remarquons qu’il s'agit d'une équation homogène. Le formalisme introduit au chapitre 5 simplifiera l'étude de ce cas, mais on peut dors et déjà résoudre complètement cette équation avec les outils développés jusqu'ici.
Supposons que la solution est une simple exponentielle : . Alors :
Ce qui est solution si . Les deux solutions qu'on en tire étant linéairement indépendantes, toute solution à l'équation différentielle est de la forme :
Pour des raisons physiques, la position doit être un nombre réel. On a donc, en fin de compte, une fonction sinusoïdale :