Équation et inéquation/Définitions

**Définitions**
Leçon : Équation et inéquation

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Résolution graphique d'une équation

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Généralités modifier

Définition

Soit $f$ une fonction de la variable réelle $x$ et $I$ une partie de l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ .

$x$ : Inconnue de l'équation.
Une solution de l'équation $f(x)=0$ est un élément $x$ de $I$ pour lequel l'égalité est vraie (il vérifie l'équation).
Résoudre l'équation $f(x)=0$ , consiste à trouver toutes ses solutions.
L'ensemble des solutions est généralement noté $S$ .

Équations du premier degré modifier

Définition

Si $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ , l'équation devient $ax+b=0$ ( $I=\mathbb {R}$ ).

C'est une équation du premier degré si $a$ est non nul.

Théorème

L'unique solution de l'équation du premier degré $ax+b=0$ (avec $a\neq 0$ ) est :

$x=-{\frac {b}{a}}$ .

On note $S=\left\{-{\frac {b}{a}}\right\}$ .

Exemples

Déterminer si les équations suivantes, d'inconnue $x$ , sont du premier degré et si oui, donner $a$ et $b$ et la solution.

$2x+3=0$
$2x=3$
$-2x=5$
$-2x+3=5$
$x+4=2x-6$
$x+{\frac {1}{2}}=8$
$\left(x-2\right)x-x^{2}=7$
$2x+3=2x-4$
$2x-3=2x-3$

Solution

Toutes sont du premier degré, sauf les deux dernières, pour lesquelles $a=0$ .

$a=2,b=3,x=-{\frac {3}{2}}$
$a=2,b=-3,x={\frac {3}{2}}$
$a=-2,b=-5,x=-{\frac {5}{2}}$
$a=-2,b=-2,x=-1$
$a=-1,b=10,x=10$
$a=1,b=-{\frac {15}{2}},x={\frac {15}{2}}$
$a=-2,b=-7,x=-{\frac {7}{2}}$
$S=\varnothing$
$S=\mathbb {R}$

Équations du second degré modifier

Définition

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a$ constante réelle non nulle, et $b$ et $c$ , deux constantes réelles.