Équation et inéquation/Inéquation et tableau de signe

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Tableau de signe

Définition

• Étudier le signe d'une expression algébrique f(x) dépendant de la variable x consiste à déterminer :
• Pour quelles valeurs de x la fonction $f(x)>0$
• Pour quelles valeurs de x la fonction $f(x)<0$.

Étudier le signe d'une fonction f revient à étudier le signe de l’expression $f(x)$. Une étude de signe peut se résumer dans un tableau de signe

Signe d'un binôme du premier degré

Début d’un théorème

Théorème

Le signe d'un binôme du premier degré est donné par les tableaux de signe suivants, selon le signe du coefficient directeur a.

Fin du théorème

• Si $a>0$ :

x	$-\infty$ $-{\frac {b}{a}}$ $+\infty$
$ax+b$	$-$ $0$ $+$

• Si $a<0$

x	$-\infty$ $-{\frac {b}{a}}$ $+\infty$
$ax+b$	$+$ $0$ $-$

Exemples

Construire les tableaux de signe des binômes suivants :

• $2x+3$
• $-4x+2$
• ${\frac {1}{3}}x-2$
• $-{\frac {5}{7}}x-6$
• ${\frac {x}{x^{2}-1}}$

Signe d'un produit

Propriété

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on utilise la règle des signes (étude du signe de chaque facteur et multiplication / division de tous les signes à la fin de l'étude, en respectant la règle).

Exemple

Pour étudier le signe du produit $(2x+3)(x-5)$, on construit un tableau à 4 lignes :

x	$-\infty$ $-{\frac {3}{2}}$ $5$ $+\infty$
$2x+3$	$-$ $0$ $+$ $+$
$x-5$	$-$ $-$ $0$ $+$
$(2x+3)(x-5)$	$+$ $0$ $-$ $0$ $+$

Exercice

Étudier le signe des produits suivants :

• $(x+2)(2x+3)$
• $(-3x+1)\left({\frac {3}{4}}x-4\right)$
• $(x+1)x$

Signe d'un quotient

Propriété

Le signe d'un quotient s'étudie comme celui d'un produit, à ceci près qu'on exclut par une "double-barre" les valeurs interdites.

Exemple

Pour étudier le signe du quotient ${\frac {-2x+3}{x-4}}$, on construit un tableau à 4 lignes :

x	$-\infty$ ${\frac {3}{2}}$ $4$ $+\infty$
$-2x+3$	$+$ $0$ $-$ $-$
$x-4$	$-$ $-$ $||$ $+$
${\frac {-2x+3}{x-4}}$	$-$ $0$ $+$ $||$ $-$

Exercice

Étudier le signe des quotients suivants :

• ${\frac {x-2}{2x+3}}$
• ${\frac {-2x+1}{{\frac {3}{5}}x+4}}$
• ${\frac {x+1}{x}}$