Équations et fonctions du second degré/Exercices/Étude d'un trinôme

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=-x^{2}-6x+7$.

Étude graphique

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ sur une calculatrice en utilisant la fenêtre suivante :

   $x_{min}=-10,\quad x_{max}=10,\quad y_{min}=-10,\quad y_{max}=10$.

   Donner un compte rendu de tracé.

2. Conjecturer le tableau de variation de $f$ à l'aide de ce tracé.
3. Conjecturer les antécédents de $0$ par $f$ à l'aide de ce tracé.
4. Vérifier par le calcul ces deux conjectures.

Solution

1. Graphique Google. $f(x)=16-\left(x+3\right)^{2}$ (forme canonique) vaut $-10$ pour $x=-3\pm {\sqrt {26}}\approx -8{,}1,~2{,}1$ et vaut $10$ pour $x=-3\pm {\sqrt {6}}\approx -5{,}45,~-0{,}55$. Ces quatre points sont les extrémités des deux segments de parabole visibles dans la fenêtre.
2. $f$ semble croissante puis décroissante, avec un maximum au milieu de $-5{,}4$ et $-0{,}6$.
3. $f$ semble s'annuler en $-7$ et $1$.
4. $f(x)=16-\left(x+3\right)^{2}$ donc $f$ est croissante sur $\left]-\infty ,-3\right]$ et décroissante sur $\left[-3,+\infty \right[$, de maximum $f(-3)=16$ (et de limite $-\infty$ en $\pm \infty$), et s'annule en $-3\pm 4$, c'est-à-dire en $x=1{\text{ et }}-7$.

 

Calculs

1. Démontrer que : $f(x)=-(x+3)^{2}+16$. Comment s’appelle cette expression de la fonction $f$ ?
2. En déduire le tableau de variation de $f$.
3. Traduire ce tableau de variations par trois phrases utilisant respectivement les mots « croissante », « décroissante » et « maximum ».
4. Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.

Solution

Tout a déjà été dit dans la section précédente.

 

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=2x^{2}+4x-16$.

1. Démontrer que $f(x)=2\left(x+1\right)^{2}-18$.
2. En déduire le tableau de variation de $f$ et le traduire par trois phrases.
3. Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.

Solution

1. La vérification est immédiate en développant $2\left(x+1\right)^{2}-18$.
2. $f$ est décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$ et croissante sur $\left[-1,+\infty \right[$, de minimum $f(-1)=-18$ (et de limite $+\infty$ en $\pm \infty$).
3. $2\left(x+1\right)^{2}-18=0\Leftrightarrow x=-1\pm 3=2{\text{ ou }}-4$.

 

Exercice 3

1. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x² − 5x + 1.
2. Dresser un tableau de variation f sur [0, 3].

Solution

f est une fonction du second degré sous la forme ax² + bx + c avec a = 2, b = −5 et c = 1.

a > 0 donc la courbe représentative de f est une parabole de sommet S(x_S ; y_S) « tournée vers le haut »

On a :

$x_{S}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-(-5)}{2\times 2}}={\frac {5}{4}}$.

Donc f est décroissante sur ]−∞,${\tfrac {5}{4}}$] et croissante sur [${\tfrac {5}{4}}$, +∞[.

On calcule donc f(0), f(3) et f(${\tfrac {5}{4}}$),

${\begin{aligned}f(0)&=2\times 0^{2}-5\times 0+1=1\\f(3)&=2\times 3^{2}-5\times 3+1=18-15+1=4\\f({\tfrac {5}{4}})&=2\times ({\tfrac {5}{4}})^{2}-5\times {\tfrac {5}{4}}+1={\frac {25}{8}}-{\frac {25}{4}}+1={\frac {25}{8}}-{\frac {50}{8}}+{\frac {8}{8}}={\frac {-17}{8}}.\end{aligned}}$

D'après la question précédente, on a donc :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&-{\frac {5}{4}}&&3\\&&&&&\\\hline &1&&&&4\\{\text{Variations de }}f&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {-17}{8}}&\\\end{array}}$

 

Exercice 4

Déterminer les ensembles $A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{*}\mid x+{\frac {1}{x}}<2\right\}$ et $B=\left\{x\in \mathbb {R} ^{*}\mid x+{\frac {1}{x}}\leq 2\right\}$.

Solution

Pour tout réel $x$,

$\left(x\neq 0\land x+{\frac {1}{x}}<2\right)\Leftrightarrow \left((x>0\land x^{2}-2x+1<0)\lor (x<0\land x^{2}-2x+1>0)\right)$

donc $A=\left]-\infty ,0\right[$.

$\left(x\neq 0\land x+{\frac {1}{x}}=2\right)\Leftrightarrow x=1$

donc $B=A\cup \{1\}$.