Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

Fonctions associées
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Exercices no1
Leçon : Étude de fonctions

Exercices de niveau 12.

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Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées
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Exercice 1

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Soit u une fonction définie sur   dont on donne le tableau de variation :

 

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes :      

Exercice 2

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On pose les fonctions   et  , définies sur   par :

  •   ;
  •  .

On note   et   les courbes représentatives de   et   dans un repère orthonormé   donné.

  1. Pour tout x, écrire  (x) en utilisant  .
  2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir   à partir de  
  3. Dresser le tableau de variations de  .

Exercice 3

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Wikipédia possède un article à propos de « Dépouillement d'une courbe ».

La figure ci-dessous représente le graphe, en gras, d'une fonction   définie et dérivable sur   (attention : le repère n'est pas orthonormé !), ainsi que deux droites D1 et D2.

 
  1. Dire à quelle droite correspond chaque équation
     , (1)
     . (2)
  2. Expliquez pourquoi on a   pour tout   dans l'intervalle [−1, 1].
  3. D'après le graphe de   donné, quelles semblent être les limites de   en   et en   ?
    Dans les deux questions suivantes, on admet que le comportement de   en   et en   est celui-là.
  4. Donner le signe sur   de la dérivée   de  . Dressez alors le tableau de variations de  .
  5. Donner une valeur approchée du réel   vérifiant  .

Exercice 4

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La figure ci-dessous montre le nombre de phoques et d'ours dans une population arctique. L'évolution de ces deux populations a été étudiée sur une période de 600 jours.

 
  1. Quelles sont les populations initiales de phoques et d'ours ?
  2. Quelle est la vitesse de croissance de la population de phoques à l'instant initial ?
  3. Quelle est la valeur de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps :
    • lorsque le nombre de phoques est le plus important ?
    • lorsqu'il est le moins important ?
    Expliquer ce que signifie le résultat obtenu.
  4. Faire un tracé approximatif de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps.
  5. En déduire des valeurs approximatives de la taille de la population de phoques :
    • lorsque sa dérivée est la plus grande ;
    • lorsque sa dérivée est la plus faible.
    Expliquer également la signification du résultat obtenu.