Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition QR
Soit une matrice réelle inversible de taille . est muni de sa structure euclidienne canonique.
a) Méthode de Schmidt
Soient de matrice dans la base canonique de , la b.o.n. de construite à partir de par l'algorithme de Gram-Schmidt[1], la matrice de dans et la matrice de dans .
i) Montrer que est orthogonale.
ii) Montrer que est triangulaire supérieure.
iii) Quelle équation relie ?
b) Méthode de Householder
Pour tout vecteur non nul , on pose , et la matrice de dans la base canonique. Les matrices ainsi obtenues sont appelées matrices de Householder de taille .
i) Démontrer que est une réflexion[2].
ii) Démontrer que si est une matrice de Householder de taille alors est une matrice de Householder de taille .
iii) Soient un vecteur unitaire et un vecteur non nul. On pose avec . Montrer que . En choisissant convenablement , et , montrer qu'il existe une matrice de Householder (de taille ) telle que soit de la forme , avec matrice inversible de taille .
iv) En déduire (en précisant ) un algorithme permettant de construire des matrices de Householder (de taille ) telles que soit triangulaire supérieure.
v) Quelle équation relie alors , et ?
c)
i) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales ? Montrer qu'elles sont produits de matrices de réflexions[2]. En déduire (par b) que tout endomorphisme orthogonal est un produit de réflexions.
ii) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales et à termes diagonaux ? En déduire (en améliorant b.iv) que tout endomorphisme orthogonal est produit d'un nombre de réflexions.
a) Méthode de Schmidt
i) est la matrice d'une b.o.n. dans une b.o.n. .
ii) En notant et , contient les vecteurs donc contient le sous-espace qu'ils engendrent, et est de même dimension, donc égal, en particulier , donc est triangulaire supérieure.
iii) Pour tout , donc pour tous , donc .
b) Méthode de Householder
i) est la projection orthogonale sur donc est la réflexion d'hyperplan .
ii) Si est la matrice de avec alors est la matrice de avec .
iii) et donc donc . Soient le premier vecteur de la base canonique de et le premier vecteur colonne de (non nul puisque est inversible). Si , on choisit ; si , on choisit ; si n'est pas colinéaire à on choisit indifféremment . De cette manière, on a toujours , et en prenant pour la matrice de , a pour première colonne donc est de la forme voulue.
iv) Supposons construites telles que soit de la forme avec triangulaire supérieure de taille et de taille (inversibles).
- Si , est de taille donc est triangulaire. Donc .
- Si , il existe une matrice de Householder de taille telle que soit de la forme , avec de taille , d'où (par ii) une matrice de Householder telle que avec triangulaire supérieure.
v) Par définition de et et d'après i, .
c)
i) Si est triangulaire (par exemple supérieure) et orthogonale, les termes diagonaux sont égaux à donc les autres termes sont . S'il y a termes diagonaux égaux à , est le produit de matrices diagonales dont chacune comporte une fois et fois , donc est produit de matrices de réflexion. Si l'on applique b à une matrice de départ qui est orthogonale, la matrice triangulaire sera orthogonale donc de cette forme, donc sera (comme ) produit de réflexions, donc aussi.
ii) D'après ce qui précède, la seule matrice qui soit à la fois triangulaire et orthogonale et à termes diagonaux est . Si l'on améliore b.iv en choisissant simplement lorsque est déjà de la forme avec , on peut dans tous les autres cas choisir , si bien que la matrice triangulaire obtenue aura tous ses termes diagonaux sauf peut-être le dernier, ce que l'on peut corriger en complétant si nécessaire par un supplémentaire. Si l'on était partis d'une matrice orthogonale, on aura alors donc , où chaque est soit <math>\rm I<math>, soit une matrice de réflexion.