Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition QR

Décomposition QR
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Devoir no4
Cours : Algèbre linéaire

Devoir de niveau 15.


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Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition QR
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Soit une matrice réelle inversible de taille . est muni de sa structure euclidienne canonique.

a) Méthode de Schmidt

Soient de matrice dans la base canonique de , la b.o.n. de construite à partir de par l'algorithme de Gram-Schmidt[1], la matrice de dans et la matrice de dans .

i) Montrer que est orthogonale.

ii) Montrer que est triangulaire supérieure.

iii) Quelle équation relie  ?

b) Méthode de Householder

Pour tout vecteur non nul , on pose , et la matrice de dans la base canonique. Les matrices ainsi obtenues sont appelées matrices de Householder de taille .

i) Démontrer que est une réflexion[2].

ii) Démontrer que si est une matrice de Householder de taille alors est une matrice de Householder de taille .

iii) Soient un vecteur unitaire et un vecteur non nul. On pose avec . Montrer que . En choisissant convenablement , et , montrer qu'il existe une matrice de Householder (de taille ) telle que soit de la forme , avec matrice inversible de taille .

iv) En déduire (en précisant ) un algorithme permettant de construire des matrices de Householder (de taille ) telles que soit triangulaire supérieure.

v) Quelle équation relie alors , et  ?

c)

i) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales ? Montrer qu'elles sont produits de matrices de réflexions[2]. En déduire (par b) que tout endomorphisme orthogonal est un produit de réflexions.

ii) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales et à termes diagonaux  ? En déduire (en améliorant b.iv) que tout endomorphisme orthogonal est produit d'un nombre de réflexions.

NotesModifier

  1. Rappel sur Gram-Schmidt pour la question a : pour toute base   d'un e.v. euclidien  , il existe une unique base orthonormée   de   telle que pour tout  ,   et  .
  2. 2,0 et 2,1 Précision pour les questions b.i et c : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.