Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale

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Interpolation polynomiale
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Chapitre no 1
Leçon : Analyse numérique et calcul scientifique
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Interpolation polynomialeModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Interpolation polynomiale ».

IntroductionModifier

Dans ce chapitre, le but est d'interpoler un ensemble de points   par une fonction polynomiale  . C'est-à-dire trouver les coefficients   définissant   telle que   et  .

On pourra aussi interpoler une fonction   en un ensemble de points  , c'est-à-dire trouver   tel que  .

Matrice de VandermondeModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Matrice de Vandermonde ».

On peut exprimer sous la forme d'une matrice :

 

appelée matrice de Vandermonde.

Son déterminant vaut  .

Le système admet une solution unique si le déterminant de Vandermonde est non nul.

Ce qui prouve que pour faire passer un polynôme unique par n+1 points distincts, celui-ci doit être au plus de degré n[pas clair].

Interpolation LagrangienneModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Interpolation lagrangienne ».

Soient les   points   à interpoler par un polynôme   de degré  .

Soient les   polynômes   :

 .

Les principales propriétés de ces polynômes sont :

  •  
  •   est de degré   pour tout  

On définit le polynôme d'interpolation de Lagrange :

 .

Il est tel que :  .