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Analyse numérique et calcul scientifique : Interpolation polynomiale Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Dans ce chapitre, le but est d'interpoler un ensemble de points
(
x
i
,
y
i
)
i
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle (x_{i},y_{i})_{i\in [0,n]}}
par une fonction polynomiale
P
{\displaystyle P}
. C'est-à-dire trouver les coefficients
{
a
i
}
i
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in [0,n]}}
définissant
P
{\displaystyle P}
telle que
P
(
X
)
=
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
{\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}
et
∀
i
∈
[
0
,
n
]
P
(
x
i
)
=
y
i
{\displaystyle \forall i\in [0,n]\;P(x_{i})=y_{i}}
.
On pourra aussi interpoler une fonction
f
{\displaystyle f}
en un ensemble de points
{
x
i
∣
i
∈
[
0
,
n
]
}
{\displaystyle \{x_{i}\mid i\in [0,n]\}}
, c'est-à-dire trouver
P
{\displaystyle P}
tel que
∀
i
∈
[
0
,
n
]
P
(
x
i
)
=
f
(
x
i
)
{\displaystyle \forall i\in [0,n]\;P(x_{i})=f(x_{i})}
.
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On peut exprimer sous la forme d'une matrice :
[
x
0
n
x
0
n
−
1
…
x
0
1
x
1
n
x
1
n
−
1
…
x
1
1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
x
n
n
x
n
n
−
1
…
x
n
1
]
[
a
n
a
n
−
1
⋮
a
0
]
=
[
y
0
y
1
⋮
y
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}
appelée matrice de Vandermonde.
Son déterminant vaut
∏
0
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
.
Le système admet une solution unique si le déterminant de Vandermonde est non nul.
Ce qui prouve que pour faire passer un polynôme unique par n+1 points distincts, celui-ci doit être au plus de degré n [pas clair] .
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Soient les
n
+
1
{\displaystyle n+1}
points
(
x
i
,
y
i
)
i
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle (x_{i},y_{i})_{i\in [0,n]}}
à interpoler par un polynôme
P
{\displaystyle P}
de degré
n
{\displaystyle n}
.
Soient les
n
+
1
{\displaystyle n+1}
polynômes
l
j
j
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle l_{j}\;\;j\in [0,n]}
:
l
j
(
X
)
:=
∏
i
=
0
,
i
≠
j
n
X
−
x
i
x
j
−
x
i
{\displaystyle l_{j}(X):=\prod _{i=0,i\neq j}^{n}{\frac {X-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}}
.
Les principales propriétés de ces polynômes sont :
l
j
(
x
i
)
=
δ
i
,
j
=
{
1
si
i
=
j
0
si
i
≠
j
{\displaystyle l_{j}(x_{i})=\delta _{i,j}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}}
l
j
{\displaystyle l_{j}}
est de degré
n
{\displaystyle n}
pour tout
j
{\displaystyle j}
On définit le polynôme d'interpolation de Lagrange :
P
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
y
j
l
j
(
x
)
{\displaystyle P(x)=\sum _{j=0}^{n}y_{j}l_{j}(x)}
.
Il est tel que :
P
(
x
j
)
=
∑
j
=
0
n
y
j
l
j
(
x
j
)
=
y
j
{\displaystyle P(x_{j})=\sum _{j=0}^{n}y_{j}l_{j}(x_{j})=y_{j}}
.