Analyse vectorielle/D'Alembertien

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction

La généralisation de l'opérateur laplacien à quatre dimensions, sur un espace de Minkowski, amène naturellement à la formulation de l'opérateur d'Alembertien :

Définition

On appelle opérateur d'Alembertien l’application qui, à tout champ scalaire M, associe le champ scalaire dont la valeur en tout point est donnée par : $\Delta M-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}M}{\partial t^{2}}}$ L'opérateur d'Alembertien est noté : $\square$

De même que pour le laplacien, on peut définir l'opérateur d'Alembertien vectoriel qui applique le d'Alembertien à chaque coordonnée d'un champ vectoriel.

Utilisations

L'opérateur d'Alembertien apparaît naturellement en théorie de la relativité, mais on peut remarquer qu'en électromagnétisme classique, les champs électrique et magnétique vérifient dans le vide :

• $\square \,{\overrightarrow {E}}={\overrightarrow {0}}$ ;
• $\square \,{\overrightarrow {B}}={\overrightarrow {0}}$.

La valeur de c dans le d'Alembertien est traditionnellement prise égale à la vitesse de la lumière dans le vide — mais il est tout à fait possible de la définir autrement selon le contexte. Par exemple, pour l'équation d'onde de d'Alembert, le déplacement transversal d'une corde y vérifie : $\square \,y\left(x,t\right)=0$ avec, en notant T la tension et µ la masse linéique : $c={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$.

Remarquons que les cas de champs scalaires ou vectoriels dont le d'Alembertien est nul admettent des solutions analytiques, sous la forme d'ondes se propageant à vitesse c.

Remarques

Le d'Alembertien est en fait une généralisation du laplacien aux espaces de Minkowski, ce qui explique son lien à la mécanique relativiste.

Définition alternative

Dans certains contextes, on définit le d'Alembertien comme l'opposé :

$\square \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}M}{\partial t^{2}}}-\Delta$

Par exemple, dans le formalisme traditionnel de la mécanique quantique relativiste, l'équation de Klein-Gordon (décrivant l'évolution d'une particule relativiste de spin nul par sa fonction d'onde $\Psi$,) est notée :

$\left(\square +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\Psi \left({\overrightarrow {r}},t\right)=0$