Application multilinéaire/Exercices/Formes bilinéaires et bases

Formes bilinéaires et bases
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Exercices no1
Leçon : Application multilinéaire

Exercices de niveau 15.

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Exercice 1-1Modifier

Dire si les applications suivantes sont bilinéaires sur le  -espace vectoriel   indiqué :

  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •  .

Exercice 1-2Modifier

Soient   et   la forme bilinéaire sur   de matrice   dans la base canonique.

Donner l'expression de  , pour tout  .

Exercice 1-3Modifier

Soit   la forme bilinéaire sur   définie par :

 .
  1. Donner la matrice de   dans la base canonique de  .
  2. Soient  ,   et  . Montrer que   est une base de  .
  3. Donner la matrice de   dans cette base.

Exercice 1-4Modifier

Soit   la forme bilinéaire sur   définie par :

 .
  1. Est-elle dégénérée ?
  2. Déterminer la matrice de   dans la base canonique de  .
  3. Soient  ,   et  . Montrer que   est une base de  .
  4. Déterminer la matrice de   dans cette base, de deux manières

Soit   la forme bilinéaire symétrique sur   définie par :

 .
  1. Quel est son noyau ?
  2. Déterminer la matrice de   dans la base canonique de  .

Exercice 1-5Modifier

Soit   la forme bilinéaire sur   définie par :

 .
  1. Déterminer la matrice de   dans la base canonique de  .
  2. Soient  . Montrer que   est une base de  .
  3. Déterminer la matrice de   dans cette base, de deux manières.

Exercice 1-6Modifier

Trouver la matrice d'une forme bilinéaire dans la base   si la matrice de cette forme dans la base   est

 

Exercice 1-7Modifier

Soient   et   deux formes bilinéaires sur   telles que  . Soient   les matrices de   respectivement (dans une base fixée de  , qui est supposé de dimension finie). Trouver le lien entre  .

Exercice 1-8Modifier

Le noyau à gauche d'une forme bilinéaire   est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs   tels que   et le noyau à droite est le sous-espace constitué des   tels que  .

Trouver le noyau à droite et le noyau à gauche des formes bilinéaires données par les matrices

 .

Exercice 1-9Modifier

Soit   et soit   la forme bilinéaire dont la matrice dans la base canonique est :

 .
  1. Montrer que   est symétrique et non dégénérée.
  2. Donner des équations, puis une base de l'orthogonal pour   du sous-espace  .
  3. Mêmes questions pour  .
  4. Calculer  .
  5. Démontrer que   contient des vecteurs isotropes non nuls.

Exercice 1-10Modifier

Soit   la forme bilinéaire sur   dont la matrice dans la base canonique est :

 .
  1.   est-elle symétrique ?
  2. Donner une base de son noyau.
  3. Appliquer l'algorithme de Gauss à la forme quadratique   définie par   et comparer les résultats.

Exercice 1-11Modifier

Soit  .

  1. Montrer que la forme bilinéaire   est symétrique et non dégénérée.
  2. Soit  . Calculer la dimension des deux noyaux de la forme bilinéaire  , en fonction du rang de  .
  3. Pour  , donner la matrice de   dans la base canonique de  .

Exercice 1-12Modifier

Soit   la forme quadratique sur   définie par :  . Décomposer   en somme de carrés de formes linéaires et d'opposés de tels carrés, en utilisant la méthode de Gauss. En déduire une base dans laquelle l’expression de   est de la forme  . Quelle est la particularité de cette base ? Est-elle orthogonale ou orthonormale ?

Mêmes questions pour  .

Considérons la forme quadratique

 .
  1. Écrire la matrice de   dans la base canonique de  .
  2. Soit   la forme bilinéaire symétrique associée, donner l'expression de  .
  3. Déterminer la signature et le rang de  .
  4. Déterminer une base orthogonale pour  .

Exercice 1-13Modifier

Pour chacune des formes quadratiques suivantes, donner sa forme polaire, puis des coordonnées dans lesquelles la forme est diagonale et la base de   correspondante :

  1.  ,   ;
  2.  ,   ;
  3.  ,   ;
  4.  ,  .

Exercice 1-14Modifier

Soient   et  . On considère la forme  .

  1.   est-elle bilinéaire ? symétrique ? antisymétrique ?
  2. Montrer que le triplet   est une base de  .
  3. Déterminer la matrice dans   de la forme quadratique  .
  4. Déterminer le noyau, le rang et la signature de  . La forme   est-elle définie ? positive ? négative ?
  5. Déterminer le  -orthogonal du sous-espace  .

Exercice 1-15Modifier

Effectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :

  1.   ;
  2.   (discuter suivant les valeurs de  ) ;
  3.   (discuter suivant les valeurs de  ) ;
  4.   ;
  5.   (discuter suivant les valeurs de  ) ;
  6.   ;
  7.   ;
  8.   ;
  9.   ;
  10.   ;
  11.    est un paramètre réel.
  12.   (au préalable, expliquer rapidement pourquoi   est une forme quadratique sur   et donner sa matrice dans la base canonique de  ) ;
  13.   ;
  14.  .

Exercice 1-16Modifier

Soit  . Pour tous   (l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal ou  ), on pose :

 .
  1. Montrer   est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ?
  2. Montrer   est une forme quadratique. La forme est-elle définie ?

Exercice 1-17Modifier

  1. Soient   un  -espace vectoriel,   une forme quadratique sur  ,   et   l'orthogonal de   pour  . Donner, en la justifiant par une démonstration, une condition nécessaire et suffisante sur   pour que  .
  2. Soient   un  -espace vectoriel,   une forme bilinéaire symétrique sur   et   un supplémentaire de   dans  . Montrer que   est non dégénérée.
  3. Soient   un  -espace vectoriel de dimension  ,   une forme quadratique de signature   sur  ,   tel que   et   l'orthogonal de   pour  . Montrer que la signature de   est  .

Exercice 1-18Modifier

  1. Énoncer le théorème de Sylvester.
  2. Énumérer les différentes classes de formes quadratiques non nulles de  .

Exercice 1-19Modifier

Soient   et   sa base canonique. On considère la forme quadratique   définie sur   par :

 .
    1. Déterminer la matrice de   dans la base  .
    2. La forme   est-elle non dégénérée ?
  1. On considère les trois vecteurs   et le sous-espace  .
    1. Déterminer la dimension de  .
    2. Déterminer l'orthogonal de   pour  . Quelle est sa dimension ?
    3. Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant un nouvel argument.
    1. Déterminer la signature de  .
    2. Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant encore un nouvel argument.
  2. Déterminer le noyau de  .
  3. Donner une base de   orthogonale pour  .

Exercice 1-20Modifier

Soit   l'espace vectoriel des polynômes réels de degré  . On définit la forme quadratique   sur   par : :si  ,  .

  1. Donner la matrice de   dans la base   de  .
  2. Donner une description simple du cône isotrope de  .
  3. Déterminer le rang et la signature de  .
  4. Trouver une base orthogonale de  .
  5. Soit   et soit   le sous-espace vectoriel de   formé des polynômes   tels que  .
    1. Montrer que   est un hyperplan.
    2. Quelle est la dimension de   ?
    3. Montrer que   est une base de  .
    4. Déterminer  .

Exercice 1-21Modifier

Soit   un  -espace vectoriel muni d'une forme quadratique   non dégénérée. On dit qu'un plan   de   est  -hyperbolique s'il existe une base   de   telle que   et    désigne la forme polaire de  .

  1. Soit   un vecteur non nul isotrope de  , montrer qu'il existe dans   un plan  -hyperbolique contenant  .
  2. En déduire que si le cône isotrope   n'est pas réduit à   alors il contient une base de  .