Application multilinéaire/Formes n-linéaires

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Dans ce chapitre, $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $e=(e_{1},\dots ,e_{n})$ une base de $E$. On note $A_{n}(E,F)$ l'espace vectoriel des applications $n$-linéaires alternées de $E$ dans $F$.

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Définition

Le déterminant dans la base $e$ d'un $n$-uplet de vecteurs $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n}$, noté ${\det }_{e}(x)$, est le déterminant de sa matrice dans $e$ :

si $\forall j\in [\![1,n]\!]\quad x_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}$ alors $\mathrm {det} _{e}(x)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}$.

Début d’un théorème

Théorème fondamental

Pour tout $K$-espace vectoriel $F$, l'application linéaire

$A_{n}(E,F)\to F,\ f\mapsto f(e_{1},\dots ,e_{n})$

est un isomorphisme, d'isomorphisme réciproque

$F\to A_{n}(F,E),\ y\mapsto {\det }_{e}(\cdot )y$.

Fin du théorème

Démonstration

Ces deux applications sont clairement linéaires. Montrons que leurs deux composées sont, respectivement, l'application identité de $F$ et celle de $A_{n}(E,F)$.

• Soit $y\in F$. Considérons l'application $f:={\det }_{e}(\cdot )y$. Alors, $f(e_{1},\dots ,e_{n})={\det }_{e}(e)y=y$.
• Soit maintenant $f\in A_{n}(E,F)$. Considérons le vecteur $y:=f(e_{1},\dots ,e_{n})$ et vérifions que $f={\det }_{e}(\cdot )y$.

Pour tout $x\in E^{n}$, de matrice $(a_{i,j})$ dans $e$, on a :

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{n})\in [[1,n]]^{n}}\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j},j}\right)f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}\right)f(e_{\sigma (1)},\dots ,e_{\sigma (n)})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}\right)\epsilon (\sigma )f(e_{1},\dots ,e_{n})\\&={\det }_{e}(x)y.\end{aligned}}$

 

Corollaire

L'espace vectoriel $A_{n}(E,K)$ des formes $n$-linéaires alternées sur $E$ est une droite vectorielle, de vecteur directeur ${\det }_{e}(\cdot )$.