Axiomes de Peano


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Les axiomes de PeanoModifier

L'ensemble des entiers naturels, noté  , est défini par les axiomes de Peano :

  • (P1) : L'ensemble possède un élément particulier que l’on note 0.
  • (P2) : Chaque élément n possède un successeur que l’on note S(n).
  • (P3) : 0 n'est le successeur d'aucun élément.
  • (P4) : L'application   est injective, c'est-à-dire que si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux.
  • (P5) : Toute partie de   contenant 0 et stable par S est égale à   tout entier (axiome de récurrence).

Suite définie par une relation de récurrenceModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

On en déduit la généralisation suivante :

Addition et multiplicationModifier

On peut ensuite définir l'addition de la façon suivante. Pour un élément  , le théorème ci-dessus permet de définir la suite   par :

 

On pose  . On remarque alors que  .

On peut définir de même la multiplication. Pour un élément  , la suite   est définie par :

 .
L'entier   est également noté  .

Les axiomes de Peano permettent de démontrer, et non plus d'admettre, toutes les propriétés des deux opérations de base. Ainsi, on démontre :

  • pour l'addition :
    • l'associativité,
    • la neutralité de 0,
    • la commutativité.
    On résume ces trois propriétés en disant que   est un monoïde commutatif ;
  • pour la multiplication :
    • la commutativité,
    • l'associativité,
    • la distributivité,
    • la neutralité de 1.

Quelques autres conséquencesModifier

  • On peut définir l'ordre usuel par :  . On vérifie alors (exercice) que ≤ est bien une relation d'ordre et que 0 est le plus petit entier naturel. On démontre aussi (par récurrence sur  , pour   fixé) que pour tous  , il existe   tel que   ou  . Autrement dit : l'ordre est total.
  • On peut enfin énoncer le théorème de récurrence, qui est une version affaiblie de l'axiome (P5) : si   est un prédicat dans le langage du premier ordre sur   tel que :
    •   est vraie — c'est l'initialisation de la récurrence,
    •   — c'est l'hérédité,
    alors   est vrai.

Axiomatisation équivalenteModifier

Les axiomes P1 à P5 ci-dessus (associés à la définition de ≤ qu'ils permettent) sont équivalents à :

  est un ensemble ordonné non vide vérifiant :

  • (N1) : Toute partie non vide de   admet un plus petit élément,
  • (N2) : Toute partie non vide et majorée de   admet un plus grand élément,
  • (N3) :   lui-même n'a pas de plus grand élément.