Début de la boite de navigation du chapitre
Notes de cours issues d'un cours de 1re S durant l'année scolaire 2008/2009. Le cours sur le barycentre n'est aujourd'hui plus enseigné au lycée.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Barycentre : Barycentre de 2 points pondérés
Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On commence par rappeler une relation qui s’avérera fort utile.
Rappel : Relation de Chasles
Quels que soient les points
,
et
, on a
.
Définition : Si
désigne un point et
un réel, le couple
est appelé point pondéré ou point massif et on dit que
est le coefficient ou la masse de
.
Théorème et définition : Soient
et
deux points, et
et
deux réels tels que
. Alors il existe un seul et unique point
tel que l'on ait
. Le point
est alors appelé barycentre du système de points pondérés
.
Preuve : D'après la relation de Chasles,
donc :

puisque par hypothèse
. Les points
et
, et les réels
et
sont connus, ils déterminent donc G de manière unique par la relation vectorielle :

Conséquence : La relation
obtenue précédemment montre directement que les points
,
et
sont alignés.
Propriété : Homogénéité du barycentre :
Soit
le barycentre d'un système de points pondérés
. Si
désigne un réel non nul, alors
est aussi le barycentre du système de points pondérés
. Autrement dit, on ne change pas le barycentre si toutes les masses sont multipliées par un même réel non nul.
Preuve : Soit
un réel non nul. Alors par définition du barycentre :

avec
puisque
et par hypothèse
. D'où la conclusion.
Propriété fondamentale : Soient
et
deux points, et
et
deux réels tels que
. Alors
est le barycentre du système de points pondérés
si et seulement si pour tout point
:

ou encore puisque
:

Preuve : Soit
un point quelconque du plan. Alors en introduisant ce point quelconque grâce à la relation de Chasles, on a :

Application : Coordonnées du barycentre
Soient
le barycentre du système de points pondérés
,
et
les coordonnées respectives des points
et
dans un repère
. Alors les coordonnées
de
dans le repère
sont données par :
et
.
Preuve :
est le barycentre des points
donc d'après la propriété fondamentale, pour tout point
:
.
En particulier, pour
, on a :
.
Puisque l'on a choisi
comme étant l'origine
du repère, les vecteurs
,
et
ont pour coordonnées respectives
,
et
. Ainsi le vecteur
a pour coordonnées
donc les coordonnées du vecteur
, et donc du point
, sont :
.
Construction du barycentre : Soit
le barycentre des points
. On dispose de deux méthodes pour construire
. La première consiste à utiliser la relation
établie au début lors de la première définition. La seconde se fait par l'utilisation de la propriété fondamentale du barycentre. Par exemple, supposons que
soit le barycentre des points pondérés
.
- En utilisant la définition, on a :
.
Ici on a introduit, grâce à la relation de Chasles, le point
dans le vecteur
, mais on aurait pu aussi bien introduire le point
dans le vecteur
. On aurait alors obtenu :
.
En utilisant la propriété fondamentale on a, pour tout point
:

En particulier, si
on a :
.
Là encore, on aurait pu choisir
. On aurait alors eu :
