Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés

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Notes de cours issues d'un cours de 1re S durant l'année scolaire 2008/2009. Le cours sur le barycentre n'est aujourd'hui plus enseigné au lycée.

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On commence par rappeler une relation qui s’avérera fort utile.

Rappel : Relation de Chasles

Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, on a ${\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}$.

Définition : Si $A$ désigne un point et $\alpha$ un réel, le couple $(A,\alpha )$ est appelé point pondéré ou point massif et on dit que $\alpha$ est le coefficient ou la masse de $A$.

Théorème et définition : Soient $A$ et $B$ deux points, et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha +\beta \neq 0$. Alors il existe un seul et unique point $G$ tel que l'on ait $\alpha {\vec {GA}}+\beta {\vec {GB}}={\vec {0}}$. Le point $G$ est alors appelé barycentre du système de points pondérés $(A,\alpha ),(B,\beta )$.

Preuve : D'après la relation de Chasles, ${\vec {GB}}={\vec {GA}}+{\vec {AB}}$ donc :

$\alpha {\vec {GA}}+\beta {\vec {GB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow \alpha {\vec {GA}}+\beta \left({\vec {GA}}+{\vec {AB}}\right)={\vec {0}}\Longleftrightarrow (\alpha +\beta ){\vec {GA}}+\beta {\vec {AB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {AG}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\vec {AB}}$

puisque par hypothèse $\alpha +\beta \neq 0$. Les points $A$ et $B$, et les réels $\alpha$ et $\beta$ sont connus, ils déterminent donc G de manière unique par la relation vectorielle :

${\vec {AG}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\vec {AB}}\qquad \qquad (*).$

$\blacksquare$

Conséquence : La relation $(*)$ obtenue précédemment montre directement que les points $A$, $B$ et $G$ sont alignés.

Propriété : Homogénéité du barycentre :

Soit $G$ le barycentre d'un système de points pondérés $(A,\alpha ),(B,\beta )$. Si $k$ désigne un réel non nul, alors $G$ est aussi le barycentre du système de points pondérés $(A,k\alpha ),(B,k\beta )$. Autrement dit, on ne change pas le barycentre si toutes les masses sont multipliées par un même réel non nul.

Preuve : Soit $k$ un réel non nul. Alors par définition du barycentre :

$\alpha {\vec {GA}}+\beta {\vec {GB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow k\left(\alpha {\vec {GA}}+\beta {\vec {GB}}\right)={\vec {0}}\Longleftrightarrow (k\alpha ){\vec {GA}}+(k\beta ){\vec {GB}}={\vec {0}}$

avec $k\alpha +k\beta \neq 0$ puisque $k\alpha +k\beta =k(\alpha +\beta )$ et par hypothèse $\alpha +\beta \neq 0$. D'où la conclusion.

$\blacksquare$

Propriété fondamentale : Soient $A$ et $B$ deux points, et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha +\beta \neq 0$. Alors $G$ est le barycentre du système de points pondérés $(A,\alpha ),(B,\beta )$ si et seulement si pour tout point $M$ :

$(\alpha +\beta ){\vec {MG}}=\alpha {\vec {MA}}+{\vec {MB}}$

ou encore puisque $\alpha +\beta \neq 0$ :

${\vec {MG}}={\frac {1}{\alpha +\beta }}\left(\alpha {\vec {MA}}+{\vec {MB}}\right).$

Preuve : Soit $M$ un point quelconque du plan. Alors en introduisant ce point quelconque grâce à la relation de Chasles, on a :

$\alpha {\vec {GA}}+\beta {\vec {GB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow \alpha \left({\vec {GM}}+{\vec {MA}}\right)+\beta \left({\vec {GM}}+{\vec {MB}}\right)={\vec {0}}\Longleftrightarrow (\alpha +\beta ){\vec {GM}}+\alpha {\vec {MA}}+\beta {\vec {MB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow (\alpha +\beta ){\vec {MG}}=\alpha {\vec {MA}}+\beta {\vec {MB}}\Longleftrightarrow {\vec {MG}}={\frac {1}{\alpha +\beta }}\left(\alpha {\vec {MA}}+\beta {\vec {MB}}\right).$

$\blacksquare$

Application : Coordonnées du barycentre

Soient $G$ le barycentre du système de points pondérés $(A,\alpha ),(B,\beta )$, $(x_{A},y_{A})$ et $(x_{B},y_{B})$ les coordonnées respectives des points $A$ et $B$ dans un repère $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$. Alors les coordonnées $(x_{G},y_{G})$ de $G$ dans le repère $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ sont données par :

$x_{G}={\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}}{\alpha +\beta }}\qquad {}$ et ${}\qquad y_{G}={\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}}{\alpha +\beta }}$.

Preuve : $G$ est le barycentre des points $(A,\alpha ),(B,\beta )$ donc d'après la propriété fondamentale, pour tout point $M$ :

${\vec {MG}}={\frac {1}{\alpha +\beta }}\left(\alpha {\vec {MA}}+\beta {\vec {MB}}\right)$.

En particulier, pour $M=O$, on a :

${\vec {OG}}={\frac {1}{\alpha +\beta }}\left(\alpha {\vec {OA}}+\beta {\vec {OB}}\right)$.

Puisque l'on a choisi $M$ comme étant l'origine $O$ du repère, les vecteurs ${\vec {OG}}$, ${\vec {OA}}$ et ${\vec {OB}}$ ont pour coordonnées respectives $(x_{G},y_{G})$, $(x_{A},y_{A})$ et $(x_{B},y_{B})$. Ainsi le vecteur $\alpha {\vec {OA}}+\beta {\vec {OB}}$ a pour coordonnées $(\alpha x_{A}+\beta x_{B},\alpha y_{A}+\beta y_{B})$ donc les coordonnées du vecteur ${\vec {OG}}={\frac {1}{\alpha +\beta }}\left(\alpha {\vec {OA}}+\beta {\vec {OB}}\right)$, et donc du point $G$, sont :

$\left({\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}}{\alpha +\beta }},{\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}}{\alpha +\beta }}\right)$.

$\blacksquare$

Construction du barycentre : Soit $G$ le barycentre des points $(A,\alpha ),(B,\beta )$. On dispose de deux méthodes pour construire $G$. La première consiste à utiliser la relation $(*)$ établie au début lors de la première définition. La seconde se fait par l'utilisation de la propriété fondamentale du barycentre. Par exemple, supposons que $G$ soit le barycentre des points pondérés $(A,5),(B,-2)$. - En utilisant la définition, on a :

$5{\vec {GA}}-2{\vec {GB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow 5{\vec {GA}}-2\left({\vec {GA}}+{\vec {AB}}\right)={\vec {0}}\Longleftrightarrow 3{\vec {GA}}-2{\vec {AB}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {AG}}=-{\frac {2}{5}}{\vec {AB}}$.

Ici on a introduit, grâce à la relation de Chasles, le point $A$ dans le vecteur ${\vec {GB}}$, mais on aurait pu aussi bien introduire le point $B$ dans le vecteur ${\vec {GA}}$. On aurait alors obtenu :

${\vec {BG}}={\frac {5}{3}}{\vec {BA}}$.

En utilisant la propriété fondamentale on a, pour tout point $M$ :

${\vec {MG}}={\frac {1}{3}}\left(5{\vec {MA}}-2{\vec {MB}}\right).$

En particulier, si $M=A$ on a :

${\vec {AG}}={\frac {1}{3}}\left(5{\vec {AA}}-2{\vec {MB}}\right)=-{\frac {2}{3}}{\vec {AB}}.$.

Là encore, on aurait pu choisir $M=B$. On aurait alors eu :

${\vec {BG}}={\frac {1}{3}}\left(5{\vec {BA}}-2{\vec {BB}}\right)={\frac {5}{3}}{\vec {BA}}.$