Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair


On rappelle la formule du binôme: .

Résumé

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Cet article présente une étude du binôme dans le cas   . Nous présentons deux regroupements des termes du binôme qui donne pour tout   une somme de 2 nombres premiers entre eux, i.e  . Le premier regroupement est de la forme   . Le second est plus remarquable avec l'apparition de carrés:  . Enfin pour   premier, nous verrons que les facteurs premiers de   sont en   , et ceux de   en  .

Introduction

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Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme  , nous avons étudié plusieurs regroupement des différents termes. Avec   impair et   copremiers de parité différente, nous en avons trouvé deux. Ils utilisent les mêmes fonctions   que nous présentons ci-après.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Propriétés algébriques

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Propositions:

 

Démonstration (1):

En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

 

soit  

En posant  ,

 

D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.

Démonstration (2):

On a établi :  

En prenant  :  

En multipliant les deux dernières expressions:  

D'où la formule en substituant   à   .

Exemples pour (2):

 

 

Exemples dans   :

 


Corollaire:

 

Démonstration:

(3): conséquence directe de (1)

(3bis): Par changement de variable et en utilisant  

(4): En identifiant avec  

Remarques dans  :

Pour   impairs, (4bis) implique que   a nécessairement une 2-valuation de  .

En effet, on peut toujours écrire   avec   de parité différente.

Auquel cas   est impair.

Pour   de parité différente, il est moins évident ici de montrer que   est impair. Par contre, c'est immédiat an partant directement de la définition, comme on va le voir ci-après.


Coprimalité

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Nous considérerons dans la suite   copremiers de parité différente

Afin de donner d'autres résultats généraux, entrons un peu dans le détail de  :

 

Propositions:

 

Démonstrations :

(5) : Avec   de parités différentes, puisque  , alors   et   sont impairs.

Considérons   un diviseur premier impair commun. On a donc   . La forme (2) implique  

En réinjectant dans la définition de  , on obtient:

 

Par conséquent  . Même résultat pour  .

Ainsi tout diviseur premier commun à   et   divise aussi   et  .

(6):  ,   un polynôme .

Avec  , alors  , le pgcd étant conservé par ajout de multiples de  

(7): Lorsque   est premier,   divise tous les coefficients binomiaux.

Si   , on peut écrire  ,   polynôme.

Exemples:

Pour (7), la valuation sur   est toujours de 1. Avec  

 

Remarque:   et   ne sont pas forcément premiers entre eux!

 


Facteurs premiers

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Propositions (conjectures):

 

Pistes de démonstration ?

(4) donne  

  le polynôme cyclotomique lorsque   est premier.

D'après une propriété de ces polynômes[1] les facteurs premiers de   seraient en  .

Mais il y a un  qui traine devant le  , donc pas top.

En tout cas, il doit y avoir un début d'explication.

Remarque:

  . Le petit théorème de Fermat implique immédiatement que   et  . Mais mystérieusement, cela semble s'appliquer aussi à tous les facteurs premiers! Il n'y a pas de raison évidente. Par exemple, si on considère le polynôme  , alors  

La généralisation est donc encore plus grande sur la forme  , où tous les facteurs sont congrus à   . Cela permet par exemple d'accélérer grandement l'algorithme de décomposition en n'y recherchant que des facteurs de la forme  

Nous n'avons pas trouvé de contre-exemples (avec les moyens du bord), d'où la conjecture. À vos remarques, cher lecteur, si vous avez des pistes de démonstration ou la découverte d'un contre-exemple!

Exemples pour  

 

Exemple pour  . Le nombre de facteurs en   est pair.

 

Exemples avec les variables toutes carrées:  

 



Remarques sur le trinôme

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on rappelle ici la formule du trinôme  

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

Notamment l’existence de triplets   tels que

 

On suppose ici   impairs.

Et bien oui, il en existe. A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions

On donne quelque exemples ici:

 

 


Applications

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Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b

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En réécrivant  . Alors d'un point   solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance   et l'utilisation de la formule des carrés:  

Un exemple ici: On remarque que les points apparaissent en "tournant"

 
Construction de points rationnels par application des   à partir de (1;1)
 
Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1


On ne considère que les puissance premières  

Critères immédiats sur les facteurs premiers de z

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Déjà, avec les résultats précédents, quelques critères simples apparaissent pour savoir si un nombre à la puissance n peut ou non être divisible en somme de 2 puissances "de même nom":

  • la somme de 2 puissances impaires est toujours un nombres composé. Déjà,  
  • la somme de 2 puissances contient des facteurs premiers en  . Ainsi,  
  • les puissances "possibles" sont données par le facteur premier qui a la plus grande valeur. Ainsi,   serait possiblement la somme de cubes, puisque  . Mais ce serait la seule puissance idoine
  •  . Donc le nombre constitué de facteurs premiers en   doivent avoir une valeur beaucoup plus grande que le nombre composé du reste des facteurs. Ainsi,   n'est pas un bon candidat. A la rigueur,   car .


On a donc des critères simples sur   . Mais on est loin d'un résultat général. On n'utilise pas par exemple le fait que   . Ni qu'on a encore des sommes de puissances qui apparaissent. Ni que   sont composés de facteurs premiers en  .

En effet, par coprimalité,

 , et donc  


À travailler, éventuellement. c'est justement Sophie Germain qui cela met à profit

Valuations des facteurs premiers de la somme de puissances

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On peut toujours se ramener à la forme  ,   premiers entre eux et de parité différente. Le nombre pair est donc toujours fixé à droite.

Avec la première formule du wiki, l'expression devient  . C'est la factorisation utilisée par Euler et Dirichlet pour les cas   et  . Ça ne mènerait donc pas bien loin, puisque pour les puissances supérieures, les mathématiciens n'ont rien pu en tirer. Cela dit, nous avons vu que   ne contenait que des facteurs premiers congrus à  . Peut-être un résultat intéressant ici, qui pourrait révéler plus rapidement ce fait expérimental: la valuation du plus grand des facteurs premiers vaut toujours 1. Encore une autre conjecture, cette fois-ci beaucoup plus aventureuse! Mais qui serait déterminante. Nous avons trouvé des contre-exemples uniquement sur le cas   , comme   ,  , ,  . Sur les autres puissances, jamais (avec les moyens du bord). Voilà peut-être ce qui aurait pu mettre Fermat sur la voie? Sachant qu'à cette époque, on décomposait "à la main", il est probable que ces fonctions qui "filtrent" les facteurs premiers aient été très attrayantes, et donc connues. C'est d'ailleurs Fermat qui annonce qu'un premier somme de carrés est congru à 1[4] ( carrés de Fermat ). Il avait l’œil pour cela, et il est fort probable qu'il soit "tombé" sur ces  . D'ailleurs, on retrouve ces   dans son "petit théorème" (  ), qu'il a dû découvrir au fil de ses innombrables décompositions.

Abaissement des puissances en carrés

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Avec la deuxième formule du wiki, la formule des carrés, peut-être peut-on en tirer une forme plus parlante, pouvant aboutir sinon à une démonstration, une intuition. Fermat, ayant énormément travaillé sur les carrés, devait surement la connaître.

Par exemple, en partant de  ,   pair ,   impairs premiers avec  

on arrive à:  ,

donc une forme :  ,   impairs premiers avec  ,   premiers entre eux

Cette expression interdirait-elle à   d'être entier?

Les racines des polynômes du type   , ont-elles des propriétés particulières?

Est-ce généralisable? Car on obtient la même forme pour  , ici  impairs quelconques[2]. Ce qu'annonce la conjecture de Tidjman et Zagier pour toutes les puissances


Postface

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Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du Grand théorème de Fermat, ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai[3][4]! Faisons un bref rappel ici. 1648, Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés[5]. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés[6]. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres: "aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique[7] ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "marge trop petite" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes[8]? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème: comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration[9]? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve[10]. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question: quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "toutes les puissances"[2]? Rappelons que son niveau de connaissance en arithmétique fut celui d'un lycéen d'aujourd'hui en fin de Terminale "Maths Expertes" (oubliée la technique de la "descente" hors programme, pourtant contribution majeure de Fermat au raisonnement par récurrence[11]). Mais point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Mais il ne les dévoilait pas dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "partager une puissance"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


Remerciements

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Merci aux équipes du forum www.ilemaths.net pour leur aide précieuse (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à la distribution Linux Mageia , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau XFCE

Merci à Wikiversité.

Merci au site dcode.fr pour la décomposition de grands nombres



  1. (en) « Showing that prime factors of a number is congruent to $1 \pmod 5$ », sur Mathematics Stack Exchange (consulté le 27 juillet 2024)
  2. 2,0 et 2,1 Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "  sans solution pour   et  ", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(Tidjman et Zagier):  sans solution pour   tous supérieur à 2 et   premiers entre eux.". cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.
  3. il existe des suites des couples   dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour   cf "premiers entre eux?"
  4. La suite de Perrin   est un autre exemple de fausse conjecture: https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si n divise   alors n est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour   . Le nombre   a 33150 chiffres!!
  5. « arithmetica Livre 2 Question 9 et 10 », sur schemath.com (consulté le 15 juillet 2024)
  6.   l’hypoténuse et   un côté. L'astuce revient à poser   afin que les   disparaissent. Ici   un paramètre. Ce qui donne après développement   . Et l'autre côté   . Ici il faut   pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse   qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant  , on obtient une infinité de solutions.
  7. La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant  , on arrive à   . Soit un polynôme du second degré en   avec   . Avec  , on arrive à   . Or l'équation diophantienne   est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!
  8. « Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée. », sur franquart.fr (consulté le 15 juillet 2024)
  9. « Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité », sur fr.wikiversity.org (consulté le 15 juillet 2024)
  10. lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani « Théorème vivant », dans Wikipédia, (lire en ligne)
  11. La plus didactique étant à mon avis la descente pour prouver que la seule solution à   est