Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle

Soit $f$ la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

— Ⅰ —

$f(x)={\frac {x^{4}-6x^{2}+1}{x^{3}-x}}$

et ${\mathcal {C}}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1°  a)  Démontrer qu'il existe $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ constantes réelles, telles que pour tout $x$ de l'ensemble de définition de $f$ :

$f(x)=x-{\frac {\alpha }{x}}-{\frac {\beta }{x-1}}-{\frac {\gamma }{x+1}}$.

b)  Étudier les variations de $f$. Déterminer les asymptotes de ${\mathcal {C}}$ et son centre de symétrie. Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=x$. Tracer la courbe ${\mathcal {C}}$.

2°  Soit $P_{a}$ la fonction polynomiale définie par :

$P_{a}(x)=x^{4}-ax^{3}-6x^{2}+ax+1$.

En utilisant les résultats sur la variation de $f$, vérifier que pour tout réel $a$, l'équation $P_{a}(x)=0$ admet quatre solutions réelles distinctes.

— Ⅱ —

Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$\varphi (z)=Z,\qquad Z={\frac {1+z}{1-z}}$.

Soient m le point d'affixe $z$, M le point d'affixe $Z$, A et A' les points d'affixes respectives $1$ et $-1$, $z=x+\mathrm {i} y$ et $Z=X+\mathrm {i} Y$ avec $x,\,y,\,X,\,Y$ réels.

1°  a)  Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$.

b)  Déterminer l'ensemble des points m tels que $Z$ soit réel.

c)  Déterminer l'ensemble des points m tels que $Z$ soit imaginaire pur.

2°  a)  Préciser les distances représentées par $|1-z|$ et $|1+z|$. Déterminer l'ensemble des points m tels que $|Z|=1$.

b)  Soit $k$ réel strictement positif différent de $1$. Démontrer que l'ensemble $C_{k}$ des points m tels que $|Z|=k$ est un cercle. En déterminer le centre et le rayon.

— Ⅲ —

Soient $z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{-1,0,1\}$, $z_{1}=\varphi (z_{0})$, $z_{2}=\varphi (z_{1})$, $z_{3}=\varphi (z_{2})$ et $z_{4}=\varphi (z_{3})$.

1°  a)  Exprimer $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ et $z_{4}$ en fonction de $z_{0}$. Étudier les cas particuliers $z_{0}=\mathrm {i}$ et $z_{0}=-\mathrm {i}$.

b)  Calculer $z_{0}z_{2}$, $z_{1}z_{3}$ et $\left(z_{0}+z_{2}\right)\left(z_{1}+z_{3}\right)$.

2° Soit $a=z_{0}+z_{1}+z_{2}+z_{3}$. Développer, réduire et ordonner $\left(z-z_{0}\right)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)$. Exprimer le résultat en fonction de $z$ et $a$.

3° Pour $n\in \{0,1,2,3\}$, soit $z_{n}=x_{n}+y_{n}\mathrm {i}$ où $x_{n}$ et $y_{n}$ sont réels. En utilisant Ⅱ 1°a), démontrer que les $y_{n}$ sont tous de même signe.

Que peut-on dire de $z_{0},\,z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ si $a$ est réel ?

Quel résultat du Ⅰ retrouve-t-on ainsi ?

Corrigé

— Ⅰ —

1°  a)  En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients au numérateur, on trouve l'unique solution : $\alpha =1$, $\beta =\gamma =2$.

b)  $f$ est définie sur $\mathbb {R} \setminus \{-1,0,1\}$.

Elle est impaire donc ${\mathcal {C}}$ est symétrique par rapport à $O$ et il suffit d'étudier $f$ sur $\left]0,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[$.

$f(x)=x-{\frac {1}{x}}-{\frac {2}{x-1}}-{\frac {2}{x+1}}$ donc $f'(x)=1+{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {2}{(x-1)^{2}}}+{\frac {2}{(x+1)^{2}}}>0$.

$\lim _{0^{+}}f=\lim _{1^{+}}f=-\infty$, $\lim _{1^{-}}f=+\infty$ et $\lim _{x\to +\infty }f(x)-x=0^{-}$ donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptotes les verticales $x=0$ et $x=1$ et l'oblique $y=x$.

$f$ s'annule en ${\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}41$ et ${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}\approx 2{,}41$.

$f(x)-x$ s'annule en ${\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 0{,}45$. Graphique Google.

2°  $P_{a}(x)=0\Leftrightarrow f(x)=a$.

— Ⅱ —

1°  a)  $X={\frac {1-x^{2}-y^{2}}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ et $Y={\frac {2y}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$.

b)  $Y=0\Leftrightarrow y=0$ (et $x\neq 1$).

c)  $X=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$ (et $x\neq 1$).

2°  a)  $|1-z|=Am$ et $|1+z|=A'm$ donc $|Z|=1$ quand $m$ appartient à l'axe des ordonnées (médiatrice de $\left[A'A\right]$).

b)  $|Z|=k\Leftrightarrow |z+1|^{2}=k^{2}|z-1|^{2}\Leftrightarrow \left(x^{2}+y^{2}+1\right)\left(1-k^{2}\right)+2x\left(1+k^{2}\right)=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}\right)^{2}-1$

donc $C_{k}$ est le cercle de centre le point d'affixe ${\frac {1+k^{2}}{k^{2}-1}}$ et de rayon ${\frac {2k}{|1-k^{2}|}}$.

— Ⅲ —

1°  a)  $z_{1}={\frac {1+z_{0}}{1-z_{0}}}$, $z_{2}=-{\frac {1}{z_{0}}}$, $z_{3}={\frac {z_{0}-1}{z_{0}+1}}$ et $z_{4}=z_{0}$. En particulier si $z_{0}=\pm \mathrm {i}$ : $z_{n}=z_{0}$ (et l'on vérifie facilement que si $z_{0}\neq \pm \mathrm {i}$, les quatre $z_{n}$ sont distincts).

b)  $z_{0}z_{2}=z_{1}z_{3}=-1$ et $\left(z_{0}+z_{2}\right)\left(z_{1}+z_{3}\right)=\left(z_{0}-{\frac {1}{z_{0}}}\right)\left({\frac {1+z_{0}}{1-z_{0}}}+{\frac {z_{0}-1}{z_{0}+1}}\right)={\frac {z_{0}^{2}-1}{z_{0}}}{\frac {\left(1+z_{0}\right)^{2}-\left(1-z_{0}\right)^{2}}{1-z_{0}^{2}}}=-4$.

2°  $\left(z-z_{0}\right)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=\left(z^{2}-\left(z_{0}+z_{2}\right)z-1\right)\left(z^{2}-\left(z_{1}+z_{3}\right)z-1\right)=z^{4}-az^{3}-6z^{2}+az+1=P_{a}(z)$.

3° D'après Ⅱ 1°a), $\varphi$ ne change pas le signe de la partie imaginaire ($Y$ est du même signe que $y$) donc si $a\in \mathbb {R}$, les $z_{n}$ sont tous réels (puisque leurs parties imaginaires sont de même signe et de somme nulle). On retrouve ainsi Ⅱ2°.

Remarque : $P_{a}(\varphi (z))={\frac {-4}{\left(1-z\right)^{4}}}P_{a}(z)$.