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Le calcul littéral est un sujet difficile lorsqu'on n'y est pas habitué. Pourtant il est indispensable de le maîtriser pour résoudre des équations , et plus tard travailler avec des fonctions . C'est pour cela qu'il est indispensable de bien s'entraîner au début pour éviter des difficultés dans l'avenir.
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Calcul littéral : Distributivité double Calcul littéral/Distributivité double », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes en x entre eux, les termes en
x
2
{\displaystyle x^{2}}
Ne pas confondre addition et multiplication
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x
×
x
=
.
.
.
{\displaystyle x\times x=...}
x
+
x
=
.
.
.
{\displaystyle x+x=...}
Solution
x
×
x
=
x
2
{\displaystyle x\times x=x^{2}}
x
+
x
=
2
x
{\displaystyle x+x=2x}
Réduire des additions
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2
x
+
5
x
=
.
.
.
{\displaystyle 2x+5x=...}
−
x
+
3
x
=
.
.
.
{\displaystyle -x+3x=...}
Solution
2
x
+
5
x
=
7
x
{\displaystyle 2x+5x=7x}
−
x
+
3
x
=
2
x
{\displaystyle -x+3x=2x}
Réduire des multiplications
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2
×
x
×
4
=
.
.
.
{\displaystyle 2\times x\times 4=...}
2
×
x
×
(
−
5
)
=
.
.
.
{\displaystyle 2\times x\times (-5)=...}
Solution
2
×
x
×
4
=
2
×
4
×
x
=
8
×
x
=
8
x
{\displaystyle 2\times x\times 4=2\times 4\times x=8\times x=8x}
2
×
x
×
(
−
5
)
=
2
×
(
−
5
)
×
x
=
−
10
×
x
=
−
10
x
{\displaystyle 2\times x\times (-5)=2\times (-5)\times x=-10\times x=-10x}
Réduire des carrés
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(
3
x
)
2
=
.
.
.
{\displaystyle (3x)^{2}=...}
(
−
x
)
2
=
.
.
.
{\displaystyle (-x)^{2}=...}
Solution
(
3
x
)
2
=
3
2
×
x
2
=
9
x
2
{\displaystyle (3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}}
(
a
×
b
)
2
=
a
2
×
b
2
{\displaystyle (a\times b)^{2}=a^{2}\times b^{2}}
(
−
x
)
2
=
(
−
1
×
x
)
2
=
(
−
1
)
2
×
x
2
=
1
×
x
2
=
x
2
{\displaystyle (-x)^{2}=(-1\times x)^{2}=(-1)^{2}\times x^{2}=1\times x^{2}=x^{2}}
On ne réduit pas des x avec des x au carré
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2
x
−
7
+
3
x
2
+
5
x
−
4
x
2
+
5
{\displaystyle 2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5}
Solution
On regroupe les
x
2
{\displaystyle x^{2}}
2
x
−
7
+
3
x
2
+
5
x
−
4
x
2
+
5
=
3
x
2
−
4
x
2
+
2
x
+
5
x
−
7
+
5
=
−
x
2
+
7
x
−
2
{\displaystyle 2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5=3x^{2}-4x^{2}+2x+5x-7+5=-x^{2}+7x-2}
Distributivité de la multiplication sur l'addition
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Calculer séparément
4
×
(
3
+
2
)
=
{\displaystyle 4\times (3+2)=}
4
×
3
+
4
×
2
=
{\displaystyle 4\times 3+4\times 2=}
Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :
Quand nous utilisons ces propriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.
Développer :
(
−
2
)
×
(
3
+
5
)
=
{\displaystyle (-2)\times (3+5)=}
2
×
(
3
−
5
)
=
{\displaystyle 2\times (3-5)=}
(
7
+
2
)
×
5
=
{\displaystyle (7+2)\times 5=}
(
2
−
7
)
×
3
=
{\displaystyle (2-7)\times 3=}
Développements en calcul littéral (avec des x )
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La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.
Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes
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5
×
(
x
+
2
)
=
{\displaystyle 5\times (x+2)=}
2
×
(
2
x
−
5
)
=
{\displaystyle 2\times (2x-5)=}
(
7
+
2
x
)
×
3
=
{\displaystyle (7+2x)\times 3=}
(
2
x
−
7
)
×
(
−
3
)
=
{\displaystyle (2x-7)\times (-3)=}
La double distributivité
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Démonstration
Démontrons seulement la première des quatre formules (les autres se démontrent de la même façon).
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
{\displaystyle (a+b)(c+d)}
a
(
c
+
d
)
+
b
(
c
+
d
)
{\displaystyle a(c+d)+b(c+d)}
qui est la somme de
a
(
c
+
d
)
=
a
c
+
a
d
{\displaystyle a(c+d)=ac+ad}
et de
b
(
c
+
d
)
=
b
c
+
b
d
{\displaystyle b(c+d)=bc+bd}
La somme est donc bien
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
{\displaystyle ac+ad+bc+bd}
Développer :
(
2
x
+
4
)
(
3
x
+
2
)
−
(
4
x
+
3
)
(
3
x
+
4
)
{\displaystyle (2x+4)(3x+2)-(4x+3)(3x+4)}
(
x
+
2
)
×
(
x
+
3
)
=
{\displaystyle (x+2)\times (x+3)=}
(
x
−
2
)
×
(
5
+
x
)
=
{\displaystyle (x-2)\times (5+x)=}
(
2
x
+
3
)
×
(
x
−
4
)
=
{\displaystyle (2x+3)\times (x-4)=}
(
−
3
x
−
5
)
×
(
x
−
1
)
=
{\displaystyle (-3x-5)\times (x-1)=}
Interprétation géométrique
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a
b
c
ac
aire : bc
d
aire : ad
aire : bd
La surface d’un rectangle est égale la longueur fois la largeur, donc la surface totale du grand rectangle = (a +b )(c +d )
mais c’est aussi la somme des aires des petits rectangles :
ac + ad + bc + bd
Donc (a +b )(c +d ) = ac + ad + bc + bd
