Champs magnétique et notions électromagnétiques/Exercices/Cadre mobile comportant des spires

Un cadre mobile indéformable carré de côtés $a$. Il comporte $N$ spires traversées par un courant d'intensité $i$. Ce cadre est placé dans un champ magnétique uniforme ${\vec {B}}$ dont les lignes de champ font un angle $\alpha _{i}$ avec le plan du cadre mobile.

Quel est le moment des couples $C_{i}$ des forces électromagnétiques par rapport à l'axe de rotation $x\prime Ox$ pour les quatre valeurs de $\alpha$ proposées ? Exprimer les résults en newton-mètres.

Données

• a = 30 cm
• N = 20 spires
• i = 5 A
• B = 0,4 T
• $\alpha _{i}=\{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}},\pi \}$

Solution

D'abord on calcule les intensités de la force de Laplace par chaque valeur $\alpha$.

$F_{L}(\alpha )=i\cdot a\cdot B\cdot \sin(\alpha )=5\times 0{,}3\times 0{,}4\times \sin(\alpha )=0{,}6\cdot \sin(\alpha )$

$F_{L}$ est à son maximum lorsque $\sin(\alpha )=1$ donc $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ donc

$F_{L}=0{,}6\ {\text{N}}$

On détermine la normale de la force de Laplace par rapport à l'axe de rotation $x\prime Ox$.

$\cos(\alpha )={\frac {F_{L_{N}}}{F_{L}}}$ soit $F_{L_{N}}(\alpha )=F_{L}\cdot \cos(\alpha )=0{,}6\cdot \cos(\alpha )$

On détermine aussi la couple $C$ par rapport au vecteur ${\vec {a}}$.

$C={\frac {a}{2}}\cdot F_{L_{N}}={\frac {a}{2}}\cdot F_{L}\cdot \cos(\alpha )$

On détermine finalement $C_{T}$

$C_{T}=2\cdot N\cdot C$ car on tire 2 côtés donc

$C_{T}=2\cdot N\cdot {\frac {a}{2}}\cdot F_{L}\cdot \cos(\alpha )=2\times 20\times {\frac {0{,}3}{2}}\times 0{,}6\times \cos(\alpha )=3{,}6\cdot \cos(\alpha )$ donc

$\alpha$ (rad)	$C_{T}$ (N⋅m)
$0$	$3{,}6$
${\frac {\pi }{3}}$	$1{,}8$
${\frac {\pi }{2}}$	$0$
$\pi$	$-3{,}6$