Colorimetry xyY-2°-CIE1931-traduit de l'Anglais-

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CIE 1931 espace colorimétrique

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C' est un essai de traduction du wiki anglais CIE1931 color space : xyY 2°.
Il est peut être un peu trop technique pour la plupart des lecteurs et un peu difficile à comprendre pour certains.

Préambule pour les non-experts

Newton en 1666 a été le premier à expliquer la décomposition de la lumière par un prisme et sa recomposition avec un second prisme (ce qui revient à placer une glace épaisse sur le trajet de la lumière qui la traverse donc sans modification).
Young en 1802 a recomposé de la lumière blanche à partir de 3 lumières rouge,verte et bleue.
Maxwell en 1853 a mesuré la quantité de lumière blanche qu’il faut ajouter à une lumière monochromatique pour égaliser un mélange de 2 primaires monochromatiques et a constaté que cette mesure est relativement faible ; le fait que cette mesure ne soit pas nulle différencie la colorimétrie d'avec la simplicité du triangle de Maxwell (et du cercle chromatique).
Donc le triangle de Maxwell représente une approximation de la colorimétrie,laquelle est essentiellement une transformation mathématique des résultats de Guild et Wright pour CIE RGB, et des résultats de nombreux autres chercheurs pour la fonction sensibilité de la vision humaine V1924, l'ensemble de ces 2 transformations donnant CIE xyY 2°.
Pour celui qui ne veut pas entrer dans cette transformation mathématique, la connaissance du triangle de Maxwell suffit.
Pour les autres qu'une utilisation de connaissances mathématiques simples comme les produits de tableaux de valeurs par une matrice (3x3) n'effraie pas, le suivi des calculs est facile et très intéressant.
Le but essentiel de la colorimétrie est de remplacer une lumière quelconque définie par son spectre, par 3 nombres x, y et Y (x,y définissant la chromaticité c'est-à-dire la longueur d'onde dominante résultante, ou complémentaire pour les pourpres désaturés), et Y est la luminance (luminosité pour le profane)).

Introduction

Dans l'étude de la perception des couleurs , les premiers espaces mathématiques CIE1931 RGB 2° et CIE1931 XYZ 2°, sont définis en 1931 par la Commission internationale de l'éclairage (CIE) ((International Commission on Illumination) créée en 1913 et qui a son siège à Vienne en AUTRICHE)
L'espace colorimétrique CIE RGB 2° a été calculé à partir d'une série d'expériences (10+7) menées indépendamment dans les années 1920 par William David Wright(10 expérimentateurs)et John Guild(7expérimentateurs).
Les 10 et 7 résultats expérimentaux ont été combinés dans l'espace de couleur CIE RGB, et étant donnée leur parfaite concordance, l'espace de couleurs CIE XYZ en a été dérivé.
L'article part de la norme CIE1931 xyY, et décrit ensuite son mode d'établissement.

Les trois stimuli

Les sensibilités des cônes L,M,S,L

L' œil humain possède des photorécepteurs (appelés cônes ) pour la vision (photopique) des couleurs à moyenne et à haute luminosité, avec des pics de sensibilité à courtes ( S ,short, 420-440 nm), moyennes ( M ,middle ou medium, 530-540 nm) et à longues ( L ,long, 560 -580 nm) longueurs d'onde. (Il y a aussi pour de faibles luminosités, les récepteurs pour la "vision nocturne"(scotopique) appelées bâtonnets , qui ont une sensibilité maximale autour de 490-495 nm). Ainsi, trois paramètres, correspondant à des niveaux de stimulation pour les trois types de cônes, peuvent en principe décrire une sensation de couleur. La pondération d'un spectre de puissance de la lumière par les trois courbes de sensibilité donne les trois valeurs des stimulations pour les trois types de cônes; ces trois valeurs constituent une spécification de tristimulus de la couleur du spectre de la lumière, dans l'espace LMS .
Une description objective des sensations de couleur produites physiquement (par de la lumière , des pigments , etc...) et enregistrées par l'œil, peut être effectuée généralement en termes de valeurs chromatiques, mais généralement pas dans l'espace LMS défini par les sensibilités spectrales des cônes. Les valeurs chromatiques associées à un espace colorimétrique peuvent être conceptualisées comme quantités de trois couleurs primaires dans un modèle additif trichromatique de couleur , bien que dans la plupart des cas, comme l'espace CIE XYZ, les couleurs primaires utilisées ne sont pas de vraies couleurs , en ce sens qu'aucun spectre de lumière ne peut produire ces couleurs.
L'espace colorimétrique CIE XYZ englobe toutes les sensations de couleurs qu'une personne peut éprouver. Il sert de référence standard avec laquelle de nombreux autres espaces de couleurs sont définis. Un ensemble de fonctions de correspondance de couleurs, comme les courbes de sensibilité spectrale de l'espace LMS mais non exclusivement, est associé physiquement à des spectres de lumière avec des composantes trichromatiques spécifiques.
Considérons deux sources lumineuses constituées de différents mélanges de différentes longueurs d'onde. Ces sources lumineuses peuvent sembler être de la même couleur; cet effet est appelé métamérisme . Ces sources lumineuses ont la même couleur apparente pour un observateur lorsqu'elles produisent les mêmes valeurs chromatiques, peu importe les distributions spectrales de puissance des sources.
La plupart des longueurs d'onde ne stimulent pas un seul type de cônes , parce que les courbes de sensibilité des trois types de cônes se chevauchent. Certaines valeurs chromatiques, dans n’importe quel espace de couleur normal additif trichrome (par exemple, des espaces de couleurs RGB ), impliquent des valeurs négatives pour au moins l'une des trois primaires . Pour éviter ces valeurs négatives RGB, et avoir une composante qui décrit la luminosité perçue, des couleurs primaires "imaginaires" sont nécessaires et les fonctions colorimétriques correspondantes ont été formulées. Les valeurs des composantes trichromatiques en résultent sont définies par CIE1931 XYZ, dans lequel elles sont notées X , Y et Z.

Signification de X, Y, et Z

Comparaison entre la réponse normalisée du type de cônes M et la fonction ${\overline {y}}(\lambda )$ de luminosité CIE 1931 pour un observateur standard en vision photopique

Une comparaison est faite entre la réponse normalisée des cônes M et la fonction de luminosité ${\overline {y}}(\lambda )$, pour un observateur standard à vision diurne de la CIE 1931. Pour juger de l'importance de la luminance relative (luminosité) de lumières de couleurs différentes dans des conditions de bon éclairement, les êtres humains perçoivent la lumière dans les parties vertes du spectre comme plus lumineuse que la lumière rouge ou bleue de puissance égale. La fonction de luminosité qui décrit les luminosités perçues de différentes longueurs d'onde est donc plus ou moins analogue à la réponse des cônes M.
Le modèle CIE capitalise sur ce fait en définissant Y comme la luminance. Z est quasi égale à la stimulation bleue, réponse des cônes S, et X est un mélange, une combinaison linéaire des courbes de réponse des cônes M et L choisis pour donner une valeur positive. Les valeurs du tristimulus XYZ sont donc analogues, mais non égales, aux réponses des cônes LMS de l'œil humain. Définir Y comme luminance donne le résultat utile que pour toute valeur Y donnée, le plan XZ contiendra toutes les chromaticités possibles à cette luminance.

CIE observateur standard de CIE1931

En raison de la distribution des cônes dans l'œil et principalement dans la fovéa, les valeurs des composantes trichromatiques dépendent de l'observateur et du champ de vision . Pour éliminer cette variable, la CIE a défini une fonction colorimétrique appelée observateur standard 2°, pour limiter la lumière dans la fovéa en utilisant un champ de vision de 2°. Ainsi, la norme CIE 1931 est également connue comme le CIE 1931 2° observateur standard . Une alternative plus moderne mais moins utilisée est le CIE 1964 10° observateur standard , qui est dérivée du travail de Stiles et Burch, et Speranskaya. pour un champ de vision de 10° et est recommandée pour un champ de vision de 4° ou plus.
La CIE donne les deux fonctions d'observateur standard par pas de 5nm, de 380nm à 780nm,et la fonction de sensibilité de l'œil V1924 de 360nm à 830nm. Aussi on calculera les intégrales ou plutôt les sommes de 360nm à 830nm.
L'observateur standard se caractérise par trois fonctions de correspondance des couleurs.
La dérivation de l'espace normalisé CIE1931 XYZ de l'observateur standard faite à partir des expériences de Wright et Guild, est donnée ci-dessous , après la description de l'espace CIE1931 RGB.

Fonctions colorimétriques (Color Matching Functions CMF)

les fonctions colorimétriques de l'observateur standard moyen CIE1931-2°

Les fonctions d'appariement de couleur ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$ and ${\overline {z}}(\lambda )$ sont la description numérique de la réponse chromatique de l' observateur standard. Elles peuvent être considérées comme représentant les courbes de sensibilité spectrale de trois détecteurs de lumière linéaires produisant les 3 stimuli X, Y et Z.. Les valeurs des composantes trichromatiques pour une couleur avec une distribution d'énergie spectrale $I(\lambda )$ sont données en termes de l'observateur standard par:

$X=\int _{360}^{830}I(\lambda )\,{\overline {x}}(\lambda )\,d\lambda$

$Y=\int _{360}^{830}I(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda$

$Z=\int _{360}^{830}I(\lambda )\,{\overline {z}}(\lambda )\,d\lambda$

où $\lambda$ est la longueur d'onde de la lumière (mesurée en nanomètres nm ).

D'autres observateurs, comme pour les espaces CIE1964 xyY 10° et CIE1978 10°(JUDD) , sont définis par d'autres ensembles des trois fonctions colorimétriques xyY, et conduisent à des valeurs de tristimulus dans ces autres espaces.
Les valeurs de X , Y , et Z peuvent être calculées quand le spectre de l'intensité $I(\lambda )$ est donné.

Diagramme de chromaticité CIE xy et espace de couleur CIE xyY

Pour ces calculs on considère un spectre d'égale énergie I(λ)=constante.On prend I(λ)=1.

CIE 1931 xy diagramme de chromaticité.La courbe extérieure est le lieu du spectre (spectrum locus , monochrome), avec des longueurs d'onde indiquées en nanomètres. Notez que l'image ci-contre montre les couleurs en utilisant les phosphores de votre écran , et les couleurs en dehors du triangle des phosphores de votre écran qui peut être sRGB , ne peuvent pas être affichées correctement. Selon l' espace colorimétrique et l'étalonnage de votre écran, les couleurs sRGB peuvent ne pas s'afficher correctement non plus. Ce diagramme affiche les couleurs vives maximalement saturées qui peuvent être produites par un moniteur d'ordinateur ou de télévision .

Comme l' œil humain possède trois types de cônes de couleur qui correspondent à différentes gammes de longueurs d'ondes et pour différentes luminosités , une courbe complète de toutes les couleurs visibles est une figure dans l'espace à trois dimensions . Cependant, le concept de la couleur peut être divisé en deux parties: la luminosité et la chromaticité . Par exemple, la couleur blanche est une couleur vive, tandis que la couleur grise est considérée comme étant une version moins lumineuse de ce même blanc. En d'autres termes, la chromaticité du blanc et du gris sont les mêmes alors que leur luminosité est différente. L'espace de couleur CIE XYZ a été volontairement conçu de telle sorte que la fonction colorimétrique Y soit ,à un facteur près,une mesure de la luminosité ou de la luminance d'une couleur. La chromaticité de la couleur est alors définie par les fonctions dérivées x et y (et z), valeurs normalisées (normalisation à l'unité que l’on représentera par n1 :division de chaque terme X,Y,Z par leur somme (X+Y+Z))

$x={\frac {X}{X+Y+Z}}$

$y={\frac {Y}{X+Y+Z}}$

$z={\frac {Z}{X+Y+Z}}=1-x-y$

Ce que l’on peut écrire: (x,y,z)=(X,Y,Z)n1
n1=1/(X+Y+Z)
n1 normalisation à l'unité c'est-à-dire division de chaque terme de la ligne soit X,Y,Z par leur somme X+Y+Z.
Les fonctions colorimétriques dérivées et spécifiées par x, y, et Y sont connues comme l'espace colorimétrique CIE xyY et est largement utilisé pour caractériser des couleurs de lumières dans la pratique.
Les fonctions colorimétriques X et Z peuvent être calculées à partir des fonctions colorimétriques x et y et Y :

$X={\frac {Y}{y}}x$

$Z={\frac {Y}{y}}(1-x-y)$

La figure de droite montre le diagramme de chromaticité. La limite extérieure incurvée est le lieu du spectre , avec des longueurs d'onde indiquées en nanomètres. Notez que le diagramme de chromaticité est un outil précisant comment l'œil humain connaîtra la lumière pour un spectre donné. Il ne peut pas spécifier les couleurs des objets (ou des encres d'imprimerie), depuis la chromaticité observée,car les couleurs dépendent aussi de la source de lumière.
Mathématiquement, x et y sont des coordonnées projectives et les couleurs du diagramme de chromaticité occupent une région du plan projectif réel.
Le diagramme de chromaticité illustre un certain nombre de propriétés intéressantes de l'espace colorimétrique CIE XYZ:

• Le diagramme représente l’ensemble des chromaticités visibles pour l'observateur standard moyen. Elles sont indiquées en couleur et cette région est appelée le gamut de la vision humaine (En France on considère en général que le gamut est le triangle par exemple pour sRGB; en anglais le gamut représente toute la figure en couleur, périmètre et intérieur: donc ce gamut (anglais) peut être considéré comme l'enveloppe de tous les gamuts (triangles) possibles). Le gamut des chromaticités visibles est la figure en forme de cloche ou palette de peintre, montrée en couleur. La courbe du gamut est appelé le spectrum locus et correspond à une lumière monochromatique (chaque point représentant une nuance pure d'une seule longueur d'onde), avec des longueurs d'ondes inscrites en nanomètres. Le bord rectiligne de la partie inférieure de la palette est appelée ligne des pourpres . Ses couleurs, même si elles sont à la frontière du gamut, n'ont pas d'équivalent en lumière monochromatique. Des couleurs moins saturées apparaissent à l'intérieur.
• On voit que toutes les chromaticités visibles correspondent à des valeurs non négatives de x , y , et z (et donc à des valeurs non négatives de X , Y et Z ).
• Si l’on choisit deux points dans le diagramme de chromaticité, toutes les couleurs qui se trouvent sur le segment de droite entre les deux points peuvent être formées par le mélange de ces deux couleurs. Il s'ensuit que le gamut des couleurs doit être de forme convexe Toutes les couleurs qui peuvent être formées par mélange de trois sources se trouvent à l'intérieur du triangle formé par les 3 points-sources sur le diagramme de chromaticité (et ainsi de suite pour d'autres sources).
• Un mélange à parts égales de deux couleurs aussi lumineuses ne se trouvent généralement pas au milieu de ce segment de droite . En termes plus généraux, une distance dans le diagramme de chromaticité ne correspond pas au degré de différence entre deux couleurs. Au début des années 1940, David MacAdam a étudié la nature de la sensibilité visuelle aux différences de couleur , et résume ses résultats dans le concept d'une ellipse de MacAdam . Basé sur le travail de MacAdam, la CIE 1960 , CIE 1964 , et CIE 1976 espaces colorimétriques ont été développés dans le but d'assurer l'uniformité de perception (avoir une distance égale à l'espace de couleur correspondent à des différences égales de couleur). Bien qu’ils aient été une nette amélioration par rapport au système CIE 1931, ils n'étaient pas totalement exempts de distorsion.
• On peut constater que, avec trois sources réelles, ces sources ne peuvent pas couvrir toute la gamme de la vision humaine. Géométriquement parlant, il n'y a pas trois points du gamut formant un triangle qui comprenne toutes les couleurs, ou plus simplement, le gamut de la vision humaine n’est pas exactement un triangle (mais peut s'en approcher approximativement, comme un triangle de Maxwell).
• La lumière avec un spectre de puissance plat en termes de longueur d'onde (une puissance égale dans chaque intervalle de 1 nm) correspond au point ( x , y ) = (1/3, 1/3).

Espace colorimétrique CIE RGB

Gamut des primaires NPL 435.8nm,546.1nm et 700nm

L'espace colorimétrique CIE RGB est un espace de couleurs de lumières , qui se caractérise par un ensemble particulier de lumières primaires monochromatiques (une seule longueur d'onde), les primaires NPL 435.8nm,546.1nm et 700nm.

Dans les années 1920, William David Wright et John Guild ont mené de manière indépendante une série d'expériences sur la vision humaine qui a jeté les bases pour la spécification de l'espace colorimétrique CIE RGB.

Fonctions colorimétrique (r,g,b)

CMF (r,g,b) fonctions colorimétriques avec primaires 700nm 546.1nm 435.8nm CIE 1931 2°

fonctions colorimétriques

(${\overline {r}},{\overline {g}},{\overline {b}}$)=((rbar,gbar,bbar)*0.17697

Les expériences ont été effectuées en utilisant un écran carré divisé en 2 horizontalement et vu sous un champ de vision approximatif de 2 degrés , pour que l'image se forme sur la fovéa de l'œil . Sur une moitié de l'écran est projetée la lumière test et une des lumières étalon (primaire) réglable, et sur ​​l'autre moitié, une lumière réglable, mélange des deux autres lumières étalons (primaires), avec un réglage de la luminosité (par rhéostats ou fentes ajustables ou autres dispositifs faisant varier l'intensité énergétique donc aussi l'intensité lumineuse).La valeur de la primaire ajoutée à la couleur de l'essai doit être considérée comme une valeur négative.

Lorsque la lumière test d'essai est monochromatique, un tracé peut être fait de la quantité de chaque primaire utilisée comme une fonction de la longueur d'onde de la couleur de test. Ces trois fonctions sont des fonctions d'appariement de couleur pour cette expérience particulière .Elles permettent de calculer par normalisation à l'unité c'est-à-dire division par leur somme, les 3 fonctions colorimétriques (ri,gi,bi) du système RiGiBi particulier,de WRIGHT(i=1) ou GUILD(i=4).

• Les fonctions colorimétriques (r,g,b)

Bien que les expériences de Wright et Guild aient été effectuées en utilisant diverses primaires à différentes intensités, et bien qu’ils aient utilisé un certain nombre d'expérimentateurs(10 et 7 observateurs), tous les résultats ont été transformés en fonctions colorimétriques rgb, en considérant trois couleurs primaires monochromatiques standardisées dites NPL (National Physical Laboratory) de longueurs d'onde de 700 nm (rouge), 546,1 nm (vert) et 435,8 nm (bleu). Les valeurs des fonctions correspondent aux quantités de primaires nécessaires pour égaliser la lumière d'essai-test monochromatique. Ces fonctions sont présentées dans le graphique à droite (CIE 1931). Notons que r et b sont égaux à zéro à 435,8, r et b sont égaux à zéro à 546,1 et g et b sont égaux à zéro à 700 nm, car dans ces cas la couleur de test est une des primaires. Les primaires de longueurs d'onde 546,1 nm et 435,8 nm ont été choisies parce qu’elles sont des raies monochromatiques facilement reproductibles d'une lampe à vapeur de mercure. La longueur d'onde de 700 nm, qui en 1931 était difficile à reproduire comme faisceau monochromatique, a été choisie parce que la perception par l'œil de la couleur est plutôt immuable à cette longueur d'onde, et donc de petites erreurs dans la longueur d'onde de cette primaire auraient peu d'effet sur ​​les résultats, et surtout parce que cette longueur d'onde est à l'extrémité du spectre et permettra d'inclure le gamut dans un triangle donc sans valeur négative entre la primaire verte et la primaire rouge.

Les fonctions colorimétriques ont été spécifiées par une commission spéciale de la CIE après de considérables délibérations .

Definition des fonctions colorimétriques CIE XYZ

Calcul des fonctions colorimétriques (rbar,gbar,bbar)

Il s'agit de trouver des fonctions colorimétriques (rbar,gbar,bbar) qui par une combinaison linéaire donneront V1924, sensibilité de la vision. On définit (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V1924/(dr+eg+fb) qui est une identité quelques soient les inconnues (d,e,f) .Cette identité est incluse dans les équations de Broadbent,et dans les textes de Wright et Guild.
On calcule les paramètres d,e,f pour que les sommes des rbar,gbar et bbar soient égales.
Un ajustement aux moindres carrés de ces sommes donne:d=0.17697 e=0.81240 f=0.01063 ?

$\int _{0}^{\infty }{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda$

La valeur particulière 0.17697rbar+0.81240gbar+0.01063bbar est définie comme la luminance relative Y : Y=0.17697rbar+0.81240gbar+0.01063bbar
Les coefficients de Y correspondent à des radiances proportionnelles à 72.0962, 1.3791, 1 ??

En proposant que les primaires soient normalisées, la CIE a mis en place un système international de notation objective de la lumière.

Compte tenu de ces fonctions les valeurs des 3 stimuli RGB pour une lumière avec une répartition spectrale de puissance $I(\lambda )$ seraient alors donnés par:

$R=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda$

$G=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda$

$B=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda$

Ce sont tous des produits scalaires qui peuvent être considérés comme une projection d'un spectre en trois dimensions. (Voir aussi: espace de Hilbert )

La loi de Grassmann

On pourrait se demander: Pourquoi est-il possible que les résultats de Wright et Guild puissent être résumés en utilisant différentes lumières primaires (plutôt lumières étalons) avec différentes intensités ?

On peut aussi se poser la question: Qu'en est-il lorsque les lumières d'essai ne sont pas monochromatiques ?"

La réponse à ces deux questions réside dans la linéarité (proche) de la perception humaine des couleurs. Cette linéarité est exprimée dans la loi de Grassmann.

Construction de l'espace colorimétrique CIE XYZ avec les données de Wright et Guild.

Diagramme (r,g) montrant la construction du triangle des primaires virtuelles spécifiant l'espace colorimétrique CIE XYZ. Ce triangle C_b-C_g-C_r donne le triangle de coordonnées (x,y)=(0,0),(0,1),(1,0) des primaires virtuelles de l'espace CIE xy . La ligne joignant C_b and C_r est l' alychne. Notez que (r,g)=(0,0) pour 435,8 nm, (r,g)=(0,1) pour 546,1 nm et (r,g)=(1,0) pour 700 nm. Le blanc E d'égale énergie EE est (r,g)=(x,y)=(1/3,1/3).

Après avoir développé un modèle RGB de la vision humaine en utilisant les fonctions colorimétriques RGB pour les primaires NPL, les membres de la commission spéciale de la CIE ont souhaité développer un autre espace de couleur qui se rapporte à l'espace de couleur CIE RGB . On a supposé que la loi de Grassmann s'applique, et que le nouvel espace serait lié à l'espace CIE RGB par une transformation mathématique linéaire. Le nouvel espace sera défini en fonction de trois nouvelles fonctions de gestion des lumières : ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$, et ${\overline {z}}(\lambda )$ Le nouvel espace colorimétrique serait choisi pour avoir les propriétés souhaitables suivantes:
1.Les nouvelles fonctions colorimétriques devaient être partout supérieures ou égales à zéro. En 1931, les calculs ont été faits à la main ou à la règle à calcul, et la spécification de valeurs positives était une simplification de calcul utile.
2.La fonction ${\overline {y}}(\lambda )$ d'appariement serait exactement égale à la fonction d'efficacité photopique lumineuse V(λ)=V1924 (ou sensibilité de la vision) pour l' "observateur standard photopique ».
Cette fonction de luminance décrit la variation de luminosité perçue par longueur d'onde. Le fait que la fonction de luminance puisse être construite par une combinaison linéaire des fonctions de correspondance des lumières RGB n'était pas forcément assuré, mais on peut s'y attendre en raison de la nature quasi-linéaire de la vision humaine. Encore une fois, la principale raison de cette exigence était la simplification des calculs.
3.Pour le blanc équi-énergétique EE , il est nécessaire que x = y = z = 1/3.
4.En vertu de la définition de la chrominance et de l'exigence de valeurs positives pour x et y, on peut voir que le diagramme de chromaticité de toutes les couleurs de lumières se situera à l'intérieur du triangle [1,0], [0,0], [0,1].
5.Il a été constaté que la fonction colorimétrique${\overline {z}}(\lambda )$ peut être considérée comme nulle au-dessus de 650 nm tout en restant dans les limites de l'erreur expérimentale. Par souci de simplicité de calcul, il a été précisé que ce serait ainsi.

En termes de géométrie, le choix du nouvel espace de couleur revient à choisir un nouveau triangle dans le plan (0r,0g). Dans la figure ci-dessus à droite, les coordonnées (r,g) sont portées par les deux axes (0r,0g) en noir. Montrés en rouge, ce sont les axes (0x,0y) qui ont été déterminés par les exigences ci-dessus. L'exigence que les coordonnées (x,y,z) doivent être non-négatives implique que le triangle formé par Cr , Cg , Cb doit englober tout le gamut de l'observateur standard. La ligne de raccordement Cr et Cb est fixée par la condition que la fonction soit égale à la fonction de luminance. Cette ligne est la ligne de zéro luminance, et est appelé l'alychne. L'exigence selon laquelle la fonction de luminance est nulle au-dessus de 650 nm , signifie que la ligne de raccordement de Cg à Cr doit être tangente au gamut dans la région de K_r. Cela définit l'emplacement du point Cr . L'exigence que le blanc EE d'égale énergie doit être défini par x = y = 1/3 met une restriction à la ligne joignant Cb et Cg , et enfin, l'exigence que le gamut remplisse au mieux l'espace met une deuxième restriction sur cette ligne qui doit être très proche du gamut dans la région verte, ce qui donne l'emplacement de Cg et Cb . La transformation décrite ci-dessus est la transformation linéaire qui , à partir de l'espace RGB conduit à l'espace CIE XYZ. La transformation normalisée définie par la Commission spéciale CIE s'établit comme suit:
Selon la norme CIE1931, d, e, f résultant du calcul aux moindres carrés, sont définis avec 5 décimales,et les autres coefficients résultant de propriétés géométriques ne sont donnés qu'avec 2 décimales.

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.49&0.17697&0\\0.31&0.81240&0.01\\0.20&0.01063&0.99\end{pmatrix}}.$

(X,Y,Z)=(1/0.17697)*(R,G,B)*Mt
Les intégrales des fonctions de gestion des couleurs XYZ doivent toutes être égales par l'exigence 3 ci-dessus, et égales à l'intégrale de la fonction d'efficacité lumineuse photopique V1924 par l'exigence 2 ci-dessus. Les courbes de sensibilité X, Y, Z ont un certain degré d'arbitraire, et X, Y, Z peuvent être calculés avec une précision raisonnable. Cependant la courbe globale de luminosité (qui est en fait une somme pondérée de ces trois courbes) est subjective, car elle implique de demander à une personne de tester si deux sources lumineuses ont la même luminosité, même si elles sont de couleurs complètement différentes. Dans le même sens, l'importance relative de X, Y , Z et les courbes sont arbitraires. En outre on peut définir un espace de couleur valide avec un X qui soit le double. Ce nouvel espace de couleur aurait une forme différente.
Mais il en a été différemment : la CIE a décidé que les fonctions de sensibilité X, Y, Z de la CIE 1931 et 1964, espaces de couleurs XYZ soient calculées afin d’avoir des intégrales égales, pour un spectre équi-énergétique, donc pour avoir des aires égales sous leurs courbes donc des sommes égales pour ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$, and ${\overline {z}}(\lambda )$ et par conséquence pour${\overline {r}}(\lambda )$, ${\overline {g}}(\lambda )$, et ${\overline {b}}(\lambda )$, ce qui permet de calculer les coefficients d, e, f par approximations successives avec l'identité :
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)V1924/(dr+eg+eb).
Ce qui correspond à donner la même importance aux 3 stimuli rouge, vert et bleu, ce qui semble logique et biologiquement naturel.

Voir aussi :

• Trichromacy

• Imaginary color

• Lab color space

• Standard illuminant, the definition of white point used by CIE and commonly shown in color space diagrams as E, D50 or D65

Autres lectures :

• « A critical review of the development of the CIE1931 RGB color-matching functions », Color Research & Applications, vol. 29, n^o  4, August 2004, p. 267–272 [lien DOI]

« This article describes the development of the CIE1931 chromaticity coordinates and color-matching functions starting from the initial experimental data of W. D. Wright and J. Guild. Sufficient information is given to allow the reader to reproduce and verify the results obtained at each stage of the calculations and to analyze critically the procedures used. Unfortunately, some of the information required for the coordinate transformations was never published and the appended tables provide likely versions of that missing data. »

• « Derivation of the 1964 CIE 10° XYZ Colour-Matching Functions and Their Applicability in Photometry », Color Research and Application, vol. 26, n^o  1, 2001, p. 67–75 [lien DOI]

• William David Wright, Colorimetry, Wiley Interscience, 2007 (ISBN 978-0-470-04904-4), « Golden Jubilee of Colour in the CIE—The Historical and Experimental Background to the 1931 CIE System of Colorimetry », p. 9–24  (originally published by the Society of Dyers and Colourists, Bradford, 1981.)

Liens externes :

• Introduction to Colour Science, William Andrew Steer.

• efg's Color Chromaticity Diagrams Lab Report and Delphi source

• CIE Color Space, Gernot Hoffman

• Annotated downloadable data tables, Andrew Stockman and Lindsay T. Sharpe.

• Calculation from the original experimental data of the CIE 1931 RGB standard observer spectral chromaticity co-ordinates and color matching functions

• Colorimetric data useful for calculation, in various file formats

• COLORLAB MATLAB toolbox for color science computation and accurate color reproduction. It includes CIE standard tristimulus colorimetry and transformations to a number of non-linear color appearance models (CIE Lab, CIE CAM, etc.).

• Precise Color Communication Konica Minolta Sensing