Combinatoire/Exercices/Factorielles

Tous ces exercices consistent en de simples calculs utilisant des factorielles. Ici $n$ représente toujours un entier naturel.

Calculs numériques

Calculez (sans calculatrice mais éventuellement en faisant du calcul écrit) la valeur numérique des expressions suivantes :

$a.\qquad 5!$

Solution

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$.

 

$b.\qquad 7!$

Solution

$5040$.

 

$c.\qquad 0!$

Solution

$1$ (par définition).

 

$d.\qquad 6!$

Solution

$720$.

 

$e.\qquad {\frac {6!}{5!}}$

Solution

${\frac {6!}{5!}}={\frac {5!\times 6}{5!}}=6$.

 

$f.\qquad {\frac {8!}{6!}}$

Solution

$8\times 7=56$.

 

$g.\qquad {\frac {5!}{2!}}$

Solution

$5\times 4\times 3=60$.

 

$h.\qquad {\frac {12!}{10!}}$

Solution

$12\times 11=132$.

 

$i.\qquad {\frac {500!}{499!}}$

Solution

$500$.

 

$j.\qquad {\frac {180!}{178!}}$

Solution

$180\times 179=32220$.

 

$k.\qquad {\frac {1001!}{999!}}$

Solution

$1001\times 1000=1001000$.

 

$l.\qquad {\frac {95!}{93!}}$

Solution

$95\times 94=8930$.

 

$m.\qquad {\frac {8!}{6!\times 2!}}$

Solution

${\frac {8\times 7}{2}}=28$.

 

$n.\qquad {\frac {10!}{9!\times 2!}}$

Solution

${\frac {10}{2}}=5$.

 

Simplifications algébriques

Simplifiez les expressions suivantes :

$a.\qquad {\frac {n!}{(n-1)!}}$

Solution

${\frac {n!}{(n-1)!}}={\frac {(n-1)!\times n}{(n-1)!}}=n$.

 

$b.\qquad {\frac {(n+1)!}{(n-1)!}}$

Solution

$n(n+1)$.

 

$c.\qquad {\frac {(n-1)!}{(n-3)!}}$

Solution

$(n-1)(n-2)$.

 

$d.\qquad {\frac {(n+1)!}{n!}}$

Solution

$n+1$.

 

Expressions de produits sous forme de quotient de factorielles

Cet exercice demande de faire l'inverse des deux exercices précédents : réécrire un produit sous forme d'une factorielle ou d'un quotient de factorielles.

$a.\qquad 3\times 2\times 1$

Solution

$3!$.

 

$b.\qquad 4\times 3\times 2$

Solution

$4\times 3\times 2=4\times 3\times 2\times 1=4!$.

 

$c.\qquad 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$

Solution

$9!$.

 

$d.\qquad 6\times 5\times 4\times 3\times 2$

Solution

$6!$.

 

$e.\qquad 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2$

Solution

$14!$.

 

$f.\qquad 9\times 8\times 7$

Solution

Ce produit ressemble à la factorielle à laquelle on a enlevé tous les facteurs à partir de 6. On peut écrire :

${\begin{aligned}9\times 8\times 7&={\frac {9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}\\&={\frac {9!}{6!}}.\end{aligned}}$

 

$g.\qquad 4\times 3$

Solution

${\frac {4!}{2!}}$.

 

$h.\qquad 6\times 5\times 4$

Solution

${\frac {6!}{3!}}$.

 

$i.\qquad 14\times 13$.

Solution

${\frac {14!}{12!}}$.

 

$j.\qquad 100\times 99\times 98\times 97\times 96$

Solution

${\frac {100!}{95!}}$.

 

$k.\qquad n(n-1)(n-2)$

Solution

${\frac {n!}{(n-3)!}}$.

 

$l.\qquad (n+1)n(n-1)$

Solution

${\frac {(n+1)!}{(n-2)!}}$.

 

$m.\qquad (n+2)(n+1)$

Solution

${\frac {(n+2)!}{n!}}$.

 

$n.\qquad (n-7)(n-8)(n-9)(n-10)$

Solution

${\frac {(n-7)!}{(n-11)!}}$.

 

$o.\qquad n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)$

Solution

${\frac {n!}{(n-7)!}}$.

 

$p.\qquad n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2)(n-k+1)$

Solution

${\frac {n!}{(n-k)!}}$.